第1章空间向量与立体几何 小结 第1课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第一章 空间向量与立体几何 小结 阅读教材P45----46 1.明确本章知识结构 2.掌握每个知识点的典型类型的通性通法 3.归纳总结每类问题的方法及易错点 （1）重点知识再现 （2）基本方法重温 （3）知识技能过手 基础知识打包 向量的定义 相等向量、共线向量 向量的运算（加减、数乘向量、数量积） 向量的坐标运算（模、夹角、数量积） 平面、空间向量基本定理 空间直角坐标系 重点知识再现 （1）两个向量的夹角的定义 （2）两个向量的数量积 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. A1 B1 B A 重点知识再现 (3)向量的数量积性质 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据； 性质④是求向量夹角的依据. ④ 注： 重点知识再现 6 例1 (4)数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律即 重点知识再现 7 例1答案 （5） 空间向量基本定理 特别地，若 x+y+z=1，则 P、A、B、C 四点共面. (6)空间直角坐标系 ⒈单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i, j, k｝表示． 单位向量——三个基向量的长度都为1； 正交向量——三个基向量互相垂直． i j k O 重点知识再现 有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的 坐标，简记为a＝ ． 空间中相等的向量其坐标是相同的 a＝ i＋ j＋ k． 2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 重点知识再现 (7)向量的直角坐标运算 ⒈向量的直角坐标运算：设a＝ ，b＝ ， 则 ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷ a·b＝ . 证明方法：与平面向量一样，将a＝ i＋ j＋ k 和 b＝ i ＋ j＋ k 代入即可． 重点知识再现 2.坐标运算可得：设a＝ ，b = ⑴a//b a＝λb ⑵ a⊥b a·b=0 重点知识再现 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. A （8）平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 l 基本方法重温 基本方法重温 基本方法重温：坐标法解决平行问题 15 15 例1答案 基 本 方 法 重 温 坐标法解决垂直问题 16 16 例1答案2 如图，向量 在直线l 上的投影向量为 ，则 在Rt△APQ中，由勾股定理可得： 基本方法重温：点到直线的距离 两平行直线之间距离 如图，设l1∥l2，它们的方向向量都是 ，A是l1上的定点，P是l2 上任意一点， 是 在l1 上的投影向量，根据点到直线的距离公式，我们有 根据直线与平面的距离、两平行平面间距离的定义，我们知道，它们都可以根据点到面的距离得到。 基本方法重温：点面距、 线面距与面面距 基本方法重温：空间角的向量求法 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值或定正负) 向量法解立体几何的基本步骤 找、证、作出空间直角坐标系 计算关键点的坐标（直接求坐标、相等向量转化，定比分点公式） 计算直线的方向向量 计算平面的法向量 利用向量法证明位置关系（结合判断定理） 正确用公式计算角和距离（注意符号、范围、正余弦要分清！） 存在性问题解的取舍 例1：棱长为2的正方体中ABCD－A1B1C1D1，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ.