精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期9月考试数学试题

哈尔滨市第九中学2023-2024学年度 高二上学期9月份考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意） 1. 空间向量（ ） A. B. C. D. 2. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A B. C. D. 6. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，，，则CD的长为（ ）cm． A. B. C. 5 D. 8. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC中点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是（ ） A. B. C. D. 10. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若空间向量，，满足，则 B. 若空间向量，，满足，则 C. 若空间向量，满足，，则 D. 若空间向量，满足，，则 11. 已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存实数，使得 D. 若，则 12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则 A B. 若为线段上一个动点，则的最大值为2 C. 点到直线的距离是 D. 异面直线与所成角的正切值为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，，且，则______． 14. 已知向量，，，若，，共面，则x等于______． 15. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________． 16. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________. 四．解答题（本大题共6题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动． （1）证明：； （2）求平面的法向量． 18. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点． （1）求证：直线平面ABCD； （2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值． 19. 如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，， . （1）求直线与平面的夹角； （2）求点到平面的距离. 20. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 21. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面． （1）若点是的中点，求证：平面； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 22. 如图，圆锥SO，S为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形. （1）若，证明:平面 （2）点P在高SO上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈尔滨市第九中学2023