1.1椭圆的方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1 椭圆及其标准方程 理解椭圆的定义，达到直观想象与数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程，达到逻辑推理与数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 环节一 椭圆的定义 导入：在日常生活中，我们经常看见下面的图像——椭圆。 1、椭圆的定义 思考1：我们可以用圆规画出圆，那么怎么画出椭圆呢？ 1、椭圆的定义 (1)取一条定长的细绳； (2)把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆. 思考1：在上面的作图过程中，你发现什么是固定不变的？ 1、椭圆的定义 钉子间的距离不变，绳子的长度不变 思考2：钉子间的距离和绳子的长度之间有什么关系？ 绳子的长度大于钉子间的距离 思考3：通过上面的思考，你认为如何定义椭圆呢？ 1、椭圆的定义 椭圆：平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的集合(或轨迹)叫作椭圆. 这两个定点 F1、F2叫作椭圆的焦点， 两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距 思考4：如果绳子的距离不大于钉子的距离（焦距），这个时候构成什么图形呢？ 1、椭圆的定义 归纳：当绳长大于焦距，图形为椭圆 当绳长等于焦距，图形为线段F1F2 当绳长小于焦距，不构成图形 思考4：如果我把绳长定义为2a，把焦距定义为2c，那么椭圆定义里的的a和c满足什么条件？ a＞c (1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10，则M点的轨迹是什么?  (2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6，则M点的轨迹是什么?  (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5，则M点的轨迹是什么? 例 1 椭圆 线段AB 不存在 环节二 椭圆的方程 思考1：圆有方程，那么椭圆有方程吗？怎么求它的方程呢？ 2、椭圆的方程 建系——设点——列式——化简 思考2：如何建系？ 利用椭圆的对称性建系 追问1：椭圆是一个轴对称图形吗？对称轴是什么呢？ 椭圆是关于焦点所在直线或者垂直平分线对称的轴对称图形。 追问2：椭圆是一个中心对称图形吗？对称中心是什么呢？ 椭圆是关于焦点的中点中心对称的图形。 思考3：利用椭圆的对称性进行建系，应该怎么建系？ 2、椭圆的方程 2、椭圆的方程 如图，以直线 为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点 的坐标分别为(-c,0),(c,0).设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足    即 两边再平方，整理得+=() 观察后令 变式为+= 两边同除得+=1 2、椭圆的方程 思考2：上述化简中的b与a、c有什么大小关系？ 2、椭圆的方程 b小于a，跟c没有大小关系 归纳：焦点在x轴上的椭圆方程 思考3：焦点在y轴上的椭圆方程 思考4：能根据方程判断焦点在哪个轴上吗？ 2、椭圆的方程 焦点跟着大分母走 思考5：椭圆方程有什么特征？ (1)方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；   (2)三个参数a,b,c的关系 思考6：如果我要将椭圆的两个标准方程进行统一，可以写成什么格式？ 2、椭圆的方程 椭圆标准方程统一为：mx2+ny2=1 思考7：此时m、n还有绳长这种几何意义吗？ 不具有，也不能判断出焦点所在位置 例 1 （1）椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，求点P到另一个焦点的距离。 解析：由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8. （2）椭圆＋＝1的焦距为 　8　⁠. 解析：由方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16. ∴c＝4，2c＝8. 例 2 　求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）两个焦点的坐标分别为F1（－4，0），F2（4，0），并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； [自主解答] （1）因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＝1. 例 2 　求满足下列条件的椭圆的标准方程. （2）焦点坐标分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3）； [解答] 椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为 ＝1（a＞b＞0）. 方法一　由椭圆的定义知2a＝＋＝12， 解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　因为所求椭圆过点（4，3），所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 例 2 　求满足下列条件的椭圆的标准方程. （3）经过两点（2，－），（－1，）. （3）方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准