专题14 反函数初步培优题型（重点知识梳理+8类题型+过关检测）-【挑战压轴题】2023-2024学年高一数学上学期培优题型归纳与满分秘籍（沪教版2020必修第一册）

专题14 反函数初步培优题型 在初中和上一章中，我们已学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数及对数函数.这些函数的共同点是有两个变量，当其中的一个变量在某个范围内变化时，另一个变量就按照某种规则随之变化这种一个变量随着另一个变量的变化而变化的对应关系，在数学上就称为函数；在对二次函数、幂函数、指数函数与对数函数的研究中，已经可以看到不同的函数间有一些共同的性质；这里将概括有关函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学语言加以描述； 函数是刻画世间万物之间联系的有力工具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规律，从而深化人们的认识.函数概念的引入，使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展，从而逐步由初等数学走向高等数学；学好函数，对进一步学习以后的一些数学知识，如三角、微积分等，都是非常必要的； 《必修第一册》目录，第5章 函数的概念、性质及应用；*5.4 反函数； 5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像； 特别注意：这部分内容是打“*”选修知识； *1、 反函数： （1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系. （2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数. （3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。 2、相关知识点与方法梳理 反函数的定义 对于函数，记其值域为；如果对中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足；那么得到的关于的函数叫做的反函数，记作，；由于习惯上，自变量常用表示，而函数值常用表示，因此把该函数改写为； 命题 命题 在平面直角坐标系中，点P(a,b)与点P’(b,a)关于直线y=x对称. 互为反函数的图像性质 性质 互为反函数的两函数的图像关于直线y=x对称； 3、求反函数的步骤 （1）明确原函数的定义域；（2）原函数的值域；（3）解关于的方程，得；（4）交换与.得到；标明反函数的定义域，即（2）中求出的值域.； 4、有关反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域； （2）在定义域上严格单调的函数存在反函数；奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； （3）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如：； （4）互为反函数的两个函数与图像关于直线对称；若点在的图像上，则点必在图像上； （5）一般地，偶函数不存在反函数（除外，其中为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （6）与互为反函数，设定义域为，值域为， 则有, ； （6）如果函数的图像关于直线对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）与图像若有公共点，并非一定在上； 例如：与有两个公共点与关于对称。 题型1、已知原函数（值）求反函数（值） 例1 、（1）若，并设是的反函数，求：， 【解析】； 【说明】本题属于已知原函数求反函数值；一般地，当，时，函数与互为反函数。 （2） 求下列函数的反函数： ①；②，；③ 【解析】； 【说明】本题属于求已知函数的反函数；求反函数的步骤：（1）求定义域；（2）求值域；（3）反解；（4）互换； 题型2、判断与求反函数 例2、判断下列函数是否存在反函数？如存在，求出它的反函数；若不存在，请说明理由. （1）；（2） 【提示】； 【解析】 【说明】依据函数的严格单调性，确定已知函数是否存在反函数；依据“四个步骤”求反函数；遇到分段函数的反函数要写成分段函数形式。 题型3、反函数与复合函数交汇 例3、（1）已知函数，则= ；= ； 【说明】由上题解答或从互为反函数两者间的联系，则可归纳得；。 （2）、已知，求：； 【说明】本题属于反函数与复合函数交汇；注意：不是的反函数，函数表示将函数中用来代替而得到的解析式，因此求时，应先求出，再将其中的用代替。 题型4、反函数与函数性质的交汇 例4、设，其中常数； （1）设，，求函数()的反函数； （2）求证：当且仅当时，函数为奇函数； 【说明】本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算；关键是要注意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意（2）中的证明的逻辑方向是双向的，证明为奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用； 题型5、原函数与反函数图像的对称 例5、已知； （1）求它的反函数； （2）若函数的图像关于直线对称，求的值； （3）若，求的值。 【说明】由原函数与反函数的图像特征；可以归纳得：若一个函数的图像关于直线成轴对称，则原函数与反函数相同。 题型6、反函数与函数单调性的交汇 例6、已知函数； （1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域； （