9.4 抛物线（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

9.4抛物线（精讲） 一．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l叫做抛物线的准线． 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 一．抛物线的定义及标准方程 1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化． 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 二．与抛物线有关的最值问题 1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 三．常用的结论 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有 (1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角). (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点). （5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切． （6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)． 考点一 抛物线的定义及标准方程 【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则P到C的准线的距离为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点二 抛物线有关的最值问题 【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国· 专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（    ）． A．13 B．12 C．10 D．8   2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2023春·四川南充 ）已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 考点三 直线与抛物线的位置关系 【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023秋·课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（　　） A． B． C．1 D．2 3．（2023秋课时练习）过点与抛物线只有