9.3 双曲线（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

9.3双曲线（精讲） 一.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集. 二．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2， 长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 三.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 四．直线与双曲线的位置关系和弦长 1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． 2.弦长公式 设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·. 一．求标准方程 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量” 2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解． 3.常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)； ②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． 二.求双曲线离心率或其取值范围的方法 1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. 2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0. 4.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b. (3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝. 三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论 (1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 ①当P为短轴端点时，θ最大. ②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. ③焦点三角形的周长为2(a＋c). (2) 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 考点一 双曲线的定义及应用 【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【例1-2】（2023·广东潮州）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023·江苏 ）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【一隅三反】 1．（2023·江苏）（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 3．（2023·全国· 课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 考点二