山西省山西大学附属中学2023-2024学年高三上学期开学考试（总第一次）数学试题

山西大学附中 2023~2024学年第一学期高三9月开学考试（总第一次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中数学全部内容 命题人：岳双珊 审核人：张耀军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在单调递减，则a的取值范围（     ） A． B． C． D． 4．若向量和向量平行，则（     ）． A． B． C． D． 5．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（     ） A． B． C． D． 6．等差数列的公差为，前项为，若数列的最大项是第20项和第21项，则（     ） A．18 B．20 C．22 D．24 7．已知，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．若正数满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分. 9．一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，则（    ） A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变 10．已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的面积为 C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为 D．若，则 12．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（    ） A．当时，从点A绕圆锥侧面一周到点C的最小长度为 B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为 C．当时，圆锥SO的外接球表面积为 D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 13．已知函数的图象与直线相切，则 . 14．的展开式中常数项为 .（用数字作答） 15．已知函数的部分图象如图所示，其中，则 ． 16．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知，，分别为内角，，的对边，且． (1)求的值； (2)若面积为，求边上的高的最大值． 18．（12分）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，连接，作于点于点. (1)求证：是二面角的平面角； (2)若，求二面角的正弦值. 19．（12分）已知一袋中装有30个球，每个球上分别标有1，2，3，…，30的一个号码，设号码为n的球重为（单位：克），这些球等可能的从袋中被取出. (1)现从中不放回地任意取出2球，试求它们重量相等的概率； (2)现从中任意取出1球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望. 20．（12分）设等差数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值． 21．（12分）椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)记直线的斜率分别为，求的最小值． 22．（12分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在上有两个极值点（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2023~2024学年第一学期高三9月开学考试（总第一次） 数学试题评分细则 1-8 AABCDCAB 9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD 13．． 14．84. 15．2. 16． 7．【详解】由可得， 由可得， 两式相加可得，所以， 因为，，所以， 所以， 故选：A 8.【详解】由可得时等号成立， 所以， 所以时，的最小值是， 故选：B 9．【详解】数据是公差为的等差数列， 对于A，原数据的平均数， 去掉首末两项后的平均数，即平均数不变，A不正确； 对于B，