12 深究天体运动 助力飞天”梦想——卫星的变轨与对接-《中学生数理化》高考理化2023年9月刊

■重庆市大学城第一中学校 贾雪明 “飞天”是人类长久以来的梦想,1687年 发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原 理》中的万有引力定律为人类实现“飞天”梦 想提供了理论支持,伴随着国力的增强,科技 的进步,我国的航天事业也得到了蓬勃的发 展。随着我国航天事业的稳步发展,以载人 航天和太空探索为背景的卫星变轨与对接问 题也成为了近几年高考考查的重点之一。下 面就让我们一起来探究卫星的变轨和对接问 题吧! 一、卫星的变轨问题 当物体做匀速圆周运动时,它受到的合 外力恰好提供它所需的向心力;当做匀速圆 周运动的物体受到的合外力突然变化或物体 的速度突然变化时,它受到的合外力与它做 圆周运动所需的向心力不再相等,物体将会 偏离原来的运动轨迹。若忽略卫星在运行过 程中受到的阻力,则只要卫星与地球之间的 距离保持不变,卫星受到的万有引力就不会 变化,要想实现卫星的变轨就需要改变其运 行速度。当卫星在半径为R 的轨道上以速 度v 稳定运行时,根据万有引力定律和牛顿 第二定律得G m地 m R2 =m v2 R ;当卫星突然减 速时,有 G m地 m R2 >m v2 R ,卫星将做近心运 动,从高轨道向低轨道变轨;当卫星突然加速 时,有G m地 m R2 <m v2 R ,卫星将做离心运动, 从低轨道向高轨道变轨。 例 1 2022年11月12日,“天舟五号” 货运飞船成功发射并经过两次变轨仅用两个 小时就完成了与空间站天和核心舱的自主快 图1 速交会对接,创造了世 界纪录。如图1所示, 搭载着“天舟五号”货运 飞船的“长征七号遥六” 运载火箭随地球在近地 圆形轨道Ⅰ上运行至A 点时点火发射,变轨至 椭圆形轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ远地点B 时,再 次点火,变轨至轨道半径更大的圆形轨道Ⅲ 上绕地球做匀速圆周运动。设在两次变轨过 程中“天舟五号”的质量保持不变,“天舟五 号”在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上正常运行时的速率 分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上A、B 两点时的速 率 分 别 为 v2、v2',则 下 列 判 断 正 确 的 是( )。 A.v1<v3 B.v1=v2 C.v2<v2' D.v2'<v3 解析:设地球的质量为 M,“天舟五号” 的质量为m,“天舟五号”在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ 上正 常 运 行 时,万 有 引 力 提 供 向 心 力,则 G Mm r2 =m v2 r ,解得v= GM r ,因此随着轨 道半径r 的增大,运行速率v 减小,即v3< v1,选项A错误。“天舟五号”从轨道Ⅰ到轨 道Ⅱ是在A 点通过点火加速实现的,从轨道 Ⅱ到轨道Ⅲ是在B 点通过点火加速实现的, 因此v1<v2,v2'<v3,选项B错误,D正确。 “天舟五号”在轨道Ⅱ上从近地点 A 运动到 远地点B 的过程中,曲率半径增大,运行速率 减小,即v2'<v2,选项C错误。 答案:D 点评:若比较卫星在不同轨道上同一点 的速率大小,则可以根据从低轨道到高轨道 14 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2023年9月 {#{QQABRQYAoggoABAAAQgCQQEwCkOQkBGACKoGxBAIsAAAABFABCA=}#} 变轨是通过加速实现的,判断出同一点处高 轨道速率大于低轨道速率。若比较卫星在同 一非圆轨道上的不同点的速率大小,则可以 根据卫星做离心运动,万有引力做负功,速率 变小,卫星做向心运动,万有引力做正功,速 率变大,作出正确判断。若比较卫星在同心 圆轨道上的速率大小,则可以根据卫星受到 的万有引力提供它做匀速圆周运动所需的向 心力,先求出v= GM r ,再利用轨道半径r 越大,速率v越小,作出正确判断。 例 2 2020年7月23日12时41分, “天问一号”火星探测器的成功发射标志着我 国迈出了自主开展行星探测的第一步。2021 年2月,“天问一号”探测器成功实施近火捕 获制动进入环火椭圆轨道,并于2021年5月 软着陆于火星表面,随后“祝融好”火星车成 功驶上火星表面开始巡视探测。截至2023 年3月24日,“祝融号”火星车已经在火星表 面工作了306个火星日,累计行驶1 784 m。 “天问一号”探测器从椭圆形轨道Ⅰ经过多次 图2 变轨在Q 点登陆火星的 示意图如图2所示,其中 轨道Ⅲ的远火点O 是轨 道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点,轨道 Ⅱ上的P 点位于Q 点的 正上方。设探测器沿轨 道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ正常运行到达O 点时的加速度 分别为a1、a2、a3,沿轨道Ⅱ正常运行到达P 点时的加速度为a2',沿轨道Ⅲ正常运行到达 Q 点时的加速度为a3',则下列判断正确的 是( )。 A.a1>a2 B.a2>a3 C.a2=a3' D.a2'<a3' 解析:根据牛顿第二定律可知,力是产生 加速度的原