04 平抛运动问题全解读-《中学生数理化》高考理化2023年9月刊

■江苏省镇江第一中学 白利燕 李更磊 将物体沿水平方向以一定的初速度(不 为零)抛出,在忽略空气阻力的理想状况下, 物体仅受自身重力作用,做平抛运动。平抛 运动是初速度沿水平方向,加速度等于重力 加速度g 的匀变速曲线运动。深入研究平抛 运动的运动规律和重要推论,掌握平抛运动 常见题型的分析与求解方法是同学们在高三 一轮复习过程中应该完成的主要任务。 一、平抛运动的特点 利用频闪照相、录制视频、传感器和计算 机测绘等方法得到的做平抛运动的物体的轨 迹如图1所示,其运动轨迹是抛物线的一部 分。根据研究平抛运动水平分运动和竖直分 运动特点的实验可知,平抛运动可以分解为 水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的 自由落体运动。做平抛运动的物体到达任意 位置时,水 平 分 位 移 x=v0t,竖 直 分 位 移 y= 1 2gt 2,水平分速度vx=v0,竖直分速度 vy=gt,合位移的大小s= x2+y2,合位移与 水平方向间的夹角φ 的正切值tan φ= y x= gt 2v0 ,合速度的大小vt= v2x+v2y,合速度与水 平方向间的夹角α的正切值tan α= vy vx =g t v0 。 图1 二、平抛运动的推论 推论一:设做平抛运动的物体到达任意 位置时的末速度与水平方向间的夹角为α, 位移 与 水 平 方 向 间 的 夹 角 为 φ,则 总 有 tan α=2tan φ。 证明:做平抛运动的物体到达任意位置 时,有tan α= vy vx =g t v0 ,tan φ= y x= gt 2v0 ,因此 tan α=2tan φ。 推论二:做平抛运动的物体在任意时刻 的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平 位移的中点。 证明:做平抛运动的物体到达任意位置 时,末速度与水平方向间的夹角α 的正切值 tan α= vy vx = yt xt-x' ,其中x'是末速度的反向 延长线与x 轴的交点到坐标原点的距离,即 gt v0 = 1 2gt 2 v0t- x' ,解得x'= 1 2v0t ,即x'= xt 2 。 推论三:做平抛运动的物体在任意相等 的时间间隔Δt内的速度变化量Δv=gΔt大 小相等,方向恒为竖直向下。 证明:因为做平抛运动的物体在任意时 刻的水平分速度vx=v0,竖直分速度vy= gt,经过时间 Δt,物体的水平分速度vx'= v0,竖直分速度vy'=g(t+Δt),所以物体的 水平分速度变化量Δvx=0,竖直分速度变化 量Δvy=gΔt,即物体在任意相等的时间间隔 Δt内的速度变化量Δv=gΔt大小相等,方 向恒为竖直向下。 推论四:在某一固定斜面上,将物体沿水 平方向抛出,当其再次落到斜面上时,物体在 51 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2023年9月 {#{QQABRQaEogioABBAAAhCQQUwCEOQkBEACKoGAAAAsAAAQBFABCA=}#} 空中运动的时间只与初速度大小有关,且初 速度越大,运动时间越长。 图2 证明:如图2所示,设将物 体从倾角为θ的斜面顶端以初 速度v0 水平抛出,在不计空气 阻力的情况下,物体经过时间t 落回到斜面上时的水平分位移 与竖直分位移分别为x、y,根据几何关系得 tan θ=yx= 1 2gt 2 v0t =g t 2v0 ,解得t= 2v0tan θ g , 因为斜面倾角θ和重力加速度g 保持不变, 所以物体在空中运动的时间t只与初速度v0 的大小有关,且初速度v0 越大,运动时间t 越长。 三、平抛运动的常见题型归类剖析 题型一:求平抛运动的初速度v0。 若已知平抛运动轨迹上某点的位置坐标 (非原点),则根据平抛运动轨迹方程y= g 2v20 ·x2 得v0= g 2y ·x;若已知平抛运动 轨迹上某点位移s 的大小和方向,则根据 x=scos φ,y=ssin φ 得v0= g 2s·sin φ · s·cos φ。 例 1 如图3所示,将一支飞镖从倾角 θ=45°的斜面底端正上方高 H=1.6 m处以 一定的初速度水平抛出,取重力加速度g= 10 m/s2,若飞镖打到斜面上发生的位移最 小,则下列说法中正确的是( )。 图3 A.飞镖打到斜面上发生的位移与斜面 成45°角 B.飞镖打到斜面上发生的位移与斜面垂 直 C.飞镖的初速度大小为2 m/s D.飞镖的初速度大小为4 m/s 解析:要使飞镖打到斜面上发生的位移 最小,飞镖的位移应与斜面垂直,选项 A错 误,B正确。设飞镖打到斜面上发生的水平 分位移为x、竖直分位移为y,根据几何关系 得x=y= 1 2H ,根据平抛运动轨迹方程得 y= g 2v20 ·x