13 考点链接，题型归纳——导数及其应用-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■江苏省通州高级中学 邵春燕 导数是近几年高考中的必考知识,通过 导数研究函数的性质。在高考试题中,导数 只不过是创设试题情境的一种取向,求导的 过程并不难,它不是试题的最终落脚点,它的 最终落脚点应是考查函数的性质、解不等式 等重要的知识,以及等价转化、分类讨论等重 要的数学思想方法。本文综合2023年高考 中导数及其应用的考查及各方面的信息反 馈,总结导数及其应用的高考导向主要表现 在以下几个方面。 一、导数的几何意义问题 对于导数的几何意义,有时直接考查相 关的几何意义,但经常也通过几何意义的变 换来加以考查,注意这是一大导向。利用导 数的几何意义,可以求解曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率、切点、切线方 程、参数等问题。 例 1 (2023年高考数学全国甲卷文 科·8)曲线y= ex x+1 在点 1, e 2 处的切线方 程为( )。 A.y= e 4x B.y= e 2x C.y= e 4x+ e 4 D.y= e 2x+ 3e 4 解析:依题可得f'(x)= ex(x+1)-ex (x+1)2 = xex (x+1)2 。根据导数的几何意义可知所求 切线的斜率为k=f'(1)= e 4 ,所以所求切线 方程为y- e 2= e 4 (x ―1),即y= e 4x+ e 4 。 故选择答案:C。 点评:导数的几何意义在高考中的考查 方式往往是通过给定切线的方程、切线的斜 率、切线与已经直线的位置关系等,结合导数 的运算、关系式的确定等来求解切线的相关 问题(斜率、方程)、参数问题、切线的条数问 题等,是高考中比较常见的考点之一,也是我 们平时要加以熟练掌握的一个知识点。 二、函数的单调性问题 利用导数的符号判断函数的单调性,这是 导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个 应用,它充分体现了数形结合的思想方法。用 导数研究函数的单调性,可以用来解决确定单 调区间,判断函数单调性,处理相应的图像与参 数问题,比较大小关系,以及证明不等式等,同 时也是解决函数的极值与最值的基础所在。 例 2 (2023年高考数学全国乙卷理 科·16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+ (1+a)x 在(0,+∞)上单调递增,则a 的取 值范围是 。 解析:因为f(x)=ax+(1+a)x 在(0, +∞)上单调递增,所以f'(x)=axln a+ (1+a)xln(1+a)>0在(0,+∞)上恒成立。 令g(x)=axln a+(1+a)xln (1+a), 则g'(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)>0, 故导函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增。 所以f'(0)=ln a+ln(1+a)≥0,即 ln[a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1,结合 a∈(0,1),解得 5-1 2 ≤a<1 ,即a 的取值范 围是 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 故填答案: 5-1 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 点评:判断函数的单调性或利用函数的 单调性进行解题,都是命题中比较常见的题 型。这里借助函数在给定区间上单调递增 (或减),则其对应的导函数恒为正数(或负 数),借助不等式的构建,为参数值的求解或 其他相关应用奠定基础。在实际解题过程 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年9月 {#{QQABTQaAogggAgBAAAhCQQUACEOQkBAAAIoGRBAIoAAAgQFABCA=}#} 中,经常结合分类讨论、构造、转化与化归等 数学思想方法。 三、函数的极值问题 函数的极值是研究函数在某一很小区域 内的性质时给出的一个概念,是局部性的,它 只是在与极值点近旁的所有点的函数值相比 较为较大或较小,并不意味着它在函数的整 个定义域内最大或最小。函数的极值问题往 往涉及极值的确定、参数的求解等问题,往往 与函数的单调性一起加以考查。 例 3 (2023年高考数学新高考Ⅱ 卷·11)(多选题)若函数f(x)=aln x+ b x+ c x2 (a≠0)既有极大值也有极小值,则下 列结论正确的是( )。 A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 解析:依题可得函数f(x)的定义域为 (0,+∞),求导得f'(x)= a x ― b x2 ― 2c x3 = ax2-bx-2c x3 。 由于函数f(x)既有极大值也有极小值, 则知方程ax2 ―bx ―2c=0有两个不同正 根,可得 Δ=b2+8ac>0, x1+x2= b a>0 , x1x2=- 2c a>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则