重难点培优03 平面中的轨迹方程问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 平面中的轨迹方程问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 圆的轨迹方程（★★★★） 2 题型02 直接法（★★★★★） 5 题型03 定义法（★★★★★） 8 题型04 相关点法（★★★★★） 12 题型05 点差法（★★★★） 16 题型06 交轨法（★★★★） 20 03 实战检测·分层突破验成效 25 重难知识巩固 25 创新能力提升 38 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 知识点02 求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 圆的轨迹方程 1．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 2．点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，因为两点不重合，则， 根据题意得， ∴，即：， 故选：C. 3．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线与过切点的圆的半径垂直，得到点满足的条件，用坐标表示可得点的轨迹方程. 【详解】如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是． 故选：A 4．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可. 【详解】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 5．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得两直线位置关系以及其所过定点，根据圆的方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为. 故选：C. 6．已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 7．已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 【答案】 【分析】设，根据中点坐标得到，代入圆中，求出轨迹方程. 【详解】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 8．已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为______． 【答案】[除去点和点] 【分析】利用等腰三角形的性质得到，再化简得到轨迹方程即可. 【详解】设，在等腰中，得到， 则由两点间距离公式得， 化简得．考虑到三点要构成三角形， 因此点不能为和． 故点的轨迹方程为[除去点和点]． 故答案为：[除去点和点] 题型02 直接法 【技巧通法·提分快招】 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程.同时要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 1．动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动点到定点和定直线的距离比例关系列等式，化简得到轨迹方程后匹配选项即可. 【详解】由题意可知，动点 到定点 的距离为 ， 到定直线 的距离为 ， 则两边平方消去根号和绝对值化简得， 即. 2．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A． 3．已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得顶点A的轨迹是的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点），利用斜率关系与点斜式方程可得． 【详解】，且三点不共线， 顶点A的轨迹是线段的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点，即除去的中点）， ，， ，所以与直线BC垂直的直线的斜率为， 又BC的中点， 则线段的垂直平分线的方程为，即. 顶点A的轨迹方程是， 故选：D.    4．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】设，可得坐标，根据题意，列出等式，化简计算，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为， 所以，即， 则，即，且， 整理得，即. 故答案为： 5．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 6．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 7．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为______，直角边BC的中点M的轨迹方程为______． 【答案】 且； 且 【分析】根据圆的性质，结合直角三角形的性质以及圆的标准方程，可得空1的答案；设出动点坐标，由中点坐标建立等量关系，代入圆的方程，可得答案. 【详解】设AB中点为D，则，由直角三角形的性质知，， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以为圆心，2为半径长的圆． 所以直角顶点C的轨迹方程为且． 设点，点，由，M是线段BC的中点， 得且，，于是有，． 由（1）知，点C在圆且上运动， 将代入该方程得，即且． 故答案为：且；且． 题型03 定义法 【技巧通法·提分快招】 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： （1）定直线l不经过定点F. （2）定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 1．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 2．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 3．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 4．若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 5．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 6．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 7．与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是_____. 【答案】 【分析】由圆可得，圆心，半径，设所求动圆圆心为，过点作直线，为垂足，则，可得，因此可得点到定点和到直线的距离相等，即可求解. 【详解】由圆可得，圆心，半径， 设所求动圆圆心为，过点作直线，为垂足， 则，可得， 因此可得，点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合. 由抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线， 定点为焦点，定直线是准线. 所以抛物线的方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得出，进而可得点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线即可得方程. 8．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义判断点的轨迹为椭圆，运用待定系数法求解即得. 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 题型04 相关点法 【技巧通法·提分快招】 1、如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 2、相关点法求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 1．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 3．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 4．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 5．在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 【答案】 【分析】设出端点及点的坐标，并求出坐标之间的关系，结合两点间距离公式即可求解. 【详解】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. 故答案为：. 6．椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 题型05 点差法 【技巧通法·提分快招】 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 2．（2026·重庆·模拟预测）已知抛物线上两点A、B满足，其中O为坐标原点，则线段中点M的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两点的坐标，代入，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去，利用韦达定理求得直线过定点.再设出点的坐标，利用点差法结合中点坐标公式求得三个坐标之间的关系，利用（1）的结论化简得中点的轨迹方程. 【详解】设，，其中，则， ， ，， 解得（舍）或 设：，联立，消得，（*） 是（*）的两相异实根，则 ，， 即直线恒过定点 设，则 由，得 当时， 又直线恒过定点， ∴且 ∴，即 当，亦满足上式 所以所求点M的轨迹方程为. 3．倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 4．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 5．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设M，，由点差法可得，然后注意到，可得轨迹方程. 【详解】设M，. 则，两式相减可得： ， 因，则，其中O为坐标原点. 又注意到，则. 又AB斜率不存在时，为，满足； AB斜率为0时，为，满足. 综上，轨迹方程为：. 题型06 交轨法 【技巧通法·提分快招】 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交轨法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可 1．直线与圆C：交于A、B两点，分别过A、B两点作圆的切线，设切线的交点为M，则点M的轨迹方程为_________. 【答案】 【分析】根据垂直关系，转化为向量的数量积为0，进而联立方程即可求解. 【详解】由直线可得该直线过定点,圆C：圆心为， 设， 则 由于, 因此， 进而得： 以及， 两式相减得： ， 又因为在上，所以， 因此可得 ， 故答案为： 2．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设，，,由题意可得，用截距式分别表示出直线、的方程，再分别用表示出，代入，即可得M点的方程，最后再验证时的情况，即可得答案. 【详解】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 故答案为： 3．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______． 【答案】（）． 【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案. 【详解】设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以， 两式相乘得，（）, 因为，所以，即， 所以，整理得（）， 所以直线和的交点的轨迹方程（）. 故答案为：（）. 4．求两动直线与的交点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设点，利用两直线所过的定点，以及两直线的斜率关系，建立等式，即可求轨迹方程. 【详解】令，， 则直线的斜率，直线的斜率，所以． 易知过定点，过定点． 令与的交点为，因为，存在，所以， 所以，， 所以，整理得， 所以交点的轨迹方程为． 故答案为： 5．（25-26高三上·湖北·阶段检测）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. 【答案】(1) 【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为.    6．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点； (3)过（2）中的点的直线交抛物线于D，两点，过点D，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接求得值； （2）设，，设切点为，曲线，，从而 ，由此能求出直线，并能证明直线过定点； （3）设，，，从而求出交点，，设过点的直线为，联立，得，由此能求出点满足的轨迹方程为． 【详解】（1）设抛物线的方程为， ∵抛物线的焦点到直线的距离为， ∴，解得或（舍去， ∴，， ∴抛物线的方程为． （2）设，，设切点为，曲线，， 则切线的斜率为，化简得， 设，，，则，是以上方程的两根， 则，， ， 直线的方程为：，整理得， ∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上， ∴，即直线的方程为：，化简得， 又∵，∴， 故直线过定点． （3）设，，， 过D的切线，过的切线， 则交点， 设过点的直线为， 联立，得， ∴，， ∴， ∴． ∴点满足的轨迹方程为． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据题目信息得到方程，对方程进行化简得到点的轨迹方程. 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 2．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 3．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 4．设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 5．（2025·江苏·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经点，且轴交于另一点，与轴交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为直径，确定圆心和半径，进而可求解. 【详解】由题意可知：为圆的直径，所以圆心坐标为，半径为， 因为点在圆上，所以， 整理得. 故选：C. 6．已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】设点，利用的斜边为推得，借助于向量数量积的坐标运算由即得轨迹方程，去除不合题意的点即可. 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 7．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 8．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【详解】 圆的标准方程为，则圆心，半径， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段上，且是圆的半径， ， 定点间的距离为， ，满足椭圆的定义， N点的轨迹为椭圆． 9．在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 10．（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质及双曲线的定义得，即可确定轨迹方程，注意范围. 【详解】设点的坐标为，延长与交于点，连接， 因为平分，且，所以，， 又因点是双曲线右支上的动点，所以， 所以，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上， 因为当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线， 所以点的轨迹是圆弧，除去点和， 所以方程为. 11．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程． 【详解】设，由已知得，，则，即， 所以， 设，因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以，因此，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 12．点关于直线对称的点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（去掉点） 【答案】D 【分析】先求出直线恒过点，再根据对称得出点满足方程，最后排除不符合情况的点后即可求解. 【详解】直线可化为， 令解得即直线恒过点． 又点与点关于直线对称， 即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点满足方程， 若直线的斜率存在，则斜率， 过点且斜率为2的直线方程为， 设此时点关于直线方程对称的点为， 则解得即， 综上所述，动点的轨迹方程为（去掉点）． 13．已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为_________. 【答案】（且） 【分析】求出的中点，且，故点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，求出答案. 【详解】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 14．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设，，得到，，再设，则，得到，由，求得，，进而得到点的轨迹方程. 【详解】设，，则， 因为，且，所以，， 设，则，由，，所以， 因为不重合，所以， 设，由，可得，， 所以点的轨迹方程为． 故答案为：． 15．直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围. 【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）． 由题意知，则， ∴点的轨迹方程为． 又点在椭圆内， ∴， 解得：， 故答案为：. 16．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 17．（24-25高三上·广东·阶段检测）记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q． (1)求点Q的轨迹方程； 【答案】(1) 【分析】（1）设点，联立直线和的方程求出，则代入，可以得到点Q的轨迹方程. 【详解】（1）设点，则，则. 由题知，直线的方程为， 直线的方程为，联立直线和的方程有， 设，则代入，得到, 点Q的轨迹方程为． 18．如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．    【答案】－y2＝1(x<－3，y<0) 【分析】由椭圆方程可得，设，，确定直线的方程，直线的方程，利用消去，即可求得直线与直线交点的轨迹方程. 【详解】由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)， 由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为．① 直线A2B的方程为．② 由①②得．③ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故.④ 将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)． 故答案为－y2＝1(x<－3，y<0)． 19．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． (1)若的面积是的面积的倍，求的值； (2)设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； 【答案】(1) (2)（ⅰ）（，） 【分析】（1）根据题意，将问题转化为两顶点到直线的水平距离之比，进而得，代入椭圆方程得到，进而算出. （2）(i)设交点，写出直线、的点斜式，联立方程解得，，再利用椭圆方程消去参数，得到关系式；结合题意舍去，得到的轨迹（双曲线）； 【详解】（1）解：由题意知，，， 由的面积是的面积的倍可得， 即，解得， 再代入椭圆方程解得， 所以． （2）（i）直线的方程为①， 直线的方程为②， 设交点，由①得，由②得 ， 两式相除消去得 交叉相乘得：， 展开：， 化简得：， 由①式得 ，将 代入得 因为点在椭圆上，满足， 代入得 整理得：，即 ， 因为 是不同的动点，所以，从而， 所以，点的轨迹的方程为（，）． 创新能力提升 1．（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，进而得到点，求出直线，的方程，再化简即可． 【详解】解：设，则，且，，不失一般性， 圆与轴交于点，，则，， 直线，的方程分别为，， 相乘得，所以， 即点的坐标满足. 2．（2026·湖北·模拟预测）平面直角坐标系中，为定圆上一动点，为平面内一定点，为非零常数，若点满足，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．部分双曲线 D．部分抛物线 【答案】A 【分析】设定圆的圆心坐标及轨迹方程，定点B的坐标，利用向量的坐标表示得出P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，代入圆的方程即可. 【详解】设，定圆M的半径为， 则定圆的轨迹方程为， 由向量的坐标表示可知， 即，解之得， 代入圆的轨迹方程有， 整理得， 所以P点轨迹是以为圆心，为半径的圆. 故选：A 3．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 4．已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【分析】设点的坐标，应用角平分线定理得出，利用坐标公式得到点坐标代入圆的方程即可； 【详解】由题意知， 设，， 因为是的平分线，所以，所以， 所以， 所以，所以， 将点代入圆的方程，可得， 所以的轨迹方程为； 故答案为：. 5．中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质，及椭圆的概念以及标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由为边上的中线，且点为的重心，得，即， 同理可得， 由题意可得，即，可得， 所以重心的轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆， 则，所以， 所以重心G的轨迹方程为. 故答案为：. 6．已知乃是椭圆的两焦点，为椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】根据题意，寻找点使得的中垂线为，进而得到，利用三角形中位线定理，结合椭圆定义可得，进而得到点的轨迹方程. 【详解】如图所示， 延长与的延长线交于点，连接， 因为是外角平分线，且， 所以中，且为中点， 因为为椭圆上一点，则， 在中为的中点 所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题为椭圆定义的综合应用问题，关键点在于寻找中垂线，转化，进而利用中位线定理使得点的轨迹能和椭圆的定义联系起来，对学生的综合素养，创新能力要求较高，属于难题. 7．（2026·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若，则点的轨迹方程为_____． 【答案】（） 【分析】根据正切二倍角公式得到两角关系，设出，分，和三种情况，得到点的轨迹为双曲线的右支且不包含顶点，求出轨迹方程 【详解】，又，故，， 又为三角形内角，故， 当时，，此时为等腰直角三角形，故， 当时，，，设， 当时，构不成三角形，舍去，故， 当时，，， 即，化简得，且， 当时，，， 即，化简得，且， 其中满足，综上，满足，又，， 故点的轨迹为双曲线的右支且不包含顶点， 故轨迹方程为（）； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 平面中的轨迹方程问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 圆的轨迹方程（★★★★） 2 题型02 直接法（★★★★★） 3 题型03 定义法（★★★★★） 3 题型04 相关点法（★★★★★） 5 题型05 点差法（★★★★） 6 题型06 交轨法（★★★★） 7 03 实战检测·分层突破验成效 8 重难知识巩固 8 创新能力提升 10 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 知识点02 求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 圆的轨迹方程 1．已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．点是圆上的定点，为圆上异于点的动点，则线段AP的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 7．已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 8．已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为______． 题型02 直接法 【技巧通法·提分快招】 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）,从而得到轨迹方程.同时要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 1．动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 5．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 6．已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 7．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为______，直角边BC的中点M的轨迹方程为______． 题型03 定义法 【技巧通法·提分快招】 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： （1）定直线l不经过定点F. （2）定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 1．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． 7．与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是_____. 8．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 题型04 相关点法 【技巧通法·提分快招】 1、如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 2、相关点法求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 1．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 5．在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 6．椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 题型05 点差法 【技巧通法·提分快招】 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. 1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知抛物线上两点A、B满足，其中O为坐标原点，则线段中点M的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 3．倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 4．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是______． 5．已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 题型06 交轨法 【技巧通法·提分快招】 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.该问题常用参数法和交轨法进行处理,交轨法是对参数方程法的一种优化,参数方程法是联立两个曲线方程,解出交点的参数方程,然后再消参求出轨迹,而交轨法是直接把两个曲线方程中的参数消去,得到轨迹方程.所以用交轨法求动点轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消掉参数,得出点的两个坐标间的关系即可 1．直线与圆C：交于A、B两点，分别过A、B两点作圆的切线，设切线的交点为M，则点M的轨迹方程为_________. 2．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为______． 3．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______． 4．求两动直线与的交点的轨迹方程． 5．（25-26高三上·湖北·阶段检测）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. 6．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点； (3)过（2）中的点的直线交抛物线于D，两点，过点D，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4．设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经点，且轴交于另一点，与轴交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 7．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 8．（2026·广东东莞·模拟预测）已知M为圆P: 上的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点N，则N点的轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9．在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12．点关于直线对称的点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（去掉点） 13．已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为_________. 14．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是上不重合的两点，若存在，使得时，点满足，则点的轨迹方程为________． 15．直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______． 16．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 17．（24-25高三上·广东·阶段检测）记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q． (1)求点Q的轨迹方程； 18．如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．    19．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． (1)若的面积是的面积的倍，求的值； (2)设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； 创新能力提升 1．（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·模拟预测）平面直角坐标系中，为定圆上一动点，为平面内一定点，为非零常数，若点满足，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．部分双曲线 D．部分抛物线 3．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是__________. 5．中，，，AB和AC两条边上的中线之和为30，则的重心G的轨迹方程为______． 6．已知乃是椭圆的两焦点，为椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为___________. 7．（2026·山东日照·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若，则点的轨迹方程为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $