12 考点早知道，知识全掌握——基于函数模块的应用-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

考点早知道,知识全掌握———基于函数模块的应用 ■江苏省海门中学 陆莉婷 函数是贯穿整个高中数学知识体系的一 条主线,成为历年高考数学试卷中的一大重 要知识点与考查点。函数模块的考查,是基 于基本初等函数,借助函数的概念、定义域与 值域,函数的表示与图像,函数的基本性质, 分段函数与抽象函数,函数的零点与函数的 实际应用等各个方面,从不同知识点来切入 与设置。下面结合2023年高考真题,就函数 模块的常见考点加以剖析,使同学们对高考 考点早知道,函数知识全掌握。 一、函数的定义域或值域 例 1 (2023年高考数学上海卷·5) 已知f(x)= 2x,x>0, 1,x≤0, 则f(x)的值域是 。 分析:根据题设条件,通过分段函数对自 变量在不同情况下确定对应函数的取值情 况,综合归纳来确定函数的值域。注意分段 函数场景下的函数值域是各自情况下的函数 值域的并集。 解:当x>0时,f(x)=2x>20=1; 当x≤0时,f(x)=1。 综 上 可 知,函 数 f(x)的 值 域 为 [1, +∞)。 点评:求解函数的值域问题,可根据函数 的解析式,结合一些常见的值域求解方法来 分析与处理。这里涉及分段函数的值域问 题,要注意分类讨论,并与集合的运算加以联 系与综合。 二、函数的图像 例 2 (2023年高考数学天津卷·4) 函数f(x)的图像如图1所示,则f(x)的解 析式可能为( )。 图1 A. 5(ex-e-x) x2+2 B. 5sin x x2+1 C. 5(ex+e-x) x2+2 D. 5cos x x2+1 分析:根据题设条件,借助函数的图像的 对称性来确定函数的奇偶性,由此排除一些 不满足条件的选项;在此基础上,借助函数的 图像与y 轴的交点坐标,可得f(0)=5,又可 以进一步排除不满足条件的选项,从而达到 目的。 解:由图1可知,函数f(x)的图像关于 y轴对称,所以函数f(x)为定义域上的偶函 数,由此可以排除选项A、B;而f(0)=5,由 此可以排除选项C。 故选D。 点评:解决涉及函数图像的综合应用问 题,往往要从函数的图像入手,抓住函数图像 的结构特征,从图像的对称性、图像的最高点 与最低点、图像的增减变化趋势等层面入手, 进行正确分析与判断。往往可以借助特殊值 思维、极限思维等加以渗透与应用。 三、函数的基本性质 例 3 (2023年高考数学新高考Ⅰ 卷·4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上 单调递减,则a的取值范围是( )。 A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 分析:根据题设条件,合理分拆题设中的复 合函数,从复合函数的单调性入手,巧妙结合指 数函数、二次函数的图像与性质,合理构建相应 的不等式,进而得以确定参数的取值范围。 解:依题知,函数f(x)=2t 在区间(0,1) 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年9月 {#{QQABRQaEggAAAhAAAQgCQQFwCEOQkBCACAoGBAAEsAAAQQFABCA=}#} 上单调递增。结合复合函数的单调性,可知 函数t=x(x-a)= x- a 2 2 - a2 4 在区间 (0,1)上单调递减。结合二次函数的图像与 性质,可知对称轴x= a 2≥1 ,解得a≥2,即a 的取值范围是[2,+∞)。 故选D。 点评:常见的函数的基本性质主要包括 奇偶性、单调性、周期性、对称性等,问题的设 置,有时单一性质直接考查,有时多个性质综 合考查。而涉及复合函数的基本性质问题, 也是考查中的一个重点与难点,要加以高度 重视。 四、函数的零点 例 4 (2023年高考数学新高考Ⅰ 卷·15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0) 在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω 的 取值范围是 。 分析:根据题设条件,由函数的零点问题 转化为相应的方程,结合自变量的取值限制, 余弦函数的图像与性质确定方程的解的取值 问题,数形结合确定变量的取值情况,进而确 定参数的取值范围。 解:令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx =1。因为x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ]。 要使得函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间 [0,2π]上有且仅有3个零点,则cos ωx=1 在ωx∈[0,2ωπ]上有且仅有3个解,所以 4π≤2ωπ<6π,解得2≤ω<3,即ω 的取值范 围是[2,3)。 例 5 (2023年高考数学全国乙卷文 科·8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个 零点,则a的取值范围是( )。 A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(