11 考点“五明确”，题型“齐荟萃”——基于集合知识的考查-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

考点“五明确”,题型“齐荟萃”———基于集合知识的考查 ■江苏省泰兴市第三高级中学 顾德胜 集合知识是历年全国各省高考的必考内 容之一。虽然高考还是考查集合的初步知 识,但由于集合语言是现代数学的基本语言 之一,因此考查的内涵极其丰富,考查的背景 更是多彩多姿。考查集合的试题仍以客观题 为主,加以单独知识点或多个知识点之间的 整合,呈现的方式也各有特色。下面结合 2023年全国高考试卷中的集合相关试题,从 “五个明确”对集合知识的考查加以评析。 一、明确集合的表示 集合的表示是集合语言当中的重要内 容,为了一目了然地表示一个集合的构成,要 求准确把握各种集合的表示方法的特点,以 及根据实际情况选择确切的方法表示集合, 同时还要加大对各表示方法之间的相互转 换。 例 1 (2023年高考数学全国甲卷理 科·1)设集合 A={x|x=3k+1,k∈Z}, B={x|x=3k+2,k∈Z},U 为整数集,则 ∁U(A∪B)=( )。 A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 分析:根据题设条件,明确集合 A 与集 合B 所表示的集合内涵,结合整数中除以3 余数分别为0,1,2的三类加以分析,为进一 步的集合运算提供条件。 解:依题知,集合A={x|x=3k+1,k∈ Z}表示的是除以3余1的整数构成的集合, 集合B={x|x=3k+2,k∈Z}表示的是除以 3余2的整数构成的集合,则∁U(A∪B)表 示的是除以3余0的整数构成的集合,所以 ∁U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}。故选A。 点评:涉及集合的表示问题,要充分挖掘 集合的内涵,同时注意各集合的表示方法之 间的等价转化与应用,这往往是解决集合问 题或综合交汇问题的关键所在,为进一步集 合的应用提供条件。 二、明确元素的属性 利用描述法表示集合时,必须正确判断 集合中元素的属性,利用集合中元素的属性 来确定对应的集合,再加以分析与应用。 例 2 (2023年高考数学全国乙卷理 科·10)已知等差数列{an}的公差为 2π 3 ,集合 S={cos an |n∈N*},若S={a,b},则ab= ( )。 A.-1 B.- 1 2 C.0 D. 1 2 分析:根据题设条件,结合等差数列的公 差及对应的余弦函数的特点,确定集合S 中 的元素所构建数列的周期,只要在一个周期 内,借助特殊值的计算来分析与确定集合S 中元素的属性与相关值,即可达到目的。 解:依题知,等差数列{an}的公差为 2π 3 , 则{cos an}的周期为 T= 2π 2π 3 =3,取特殊值 a1=- π 3 ,可得cos a1=cos- π 3 =12,cos a2 = cos - π 3+ 2π 3 = 12,cos a3 = cos- π 3+ 2π 3×2 =-1,则ab=12×(-1)= - 1 2 。故选B。 点评:在处理集合的相关问题时,要充分 理解并把握对应集合中的元素属性,有时可 以用来直接求解,有时可以进行选项排除等, 而这都离不开对应集合中的元素属性的理解 与应用,要加以重视。 三、明确元素的特征 非空集合中的元素具备的特征是:确定 性、互异性、无序性等。集合是由元素组成 的,认清集合中元素的特征,并从元素入手是 解决集合问题最常见的方法,也是关键所在。 因此,需要我们明确集合中的元素的特征,根 据相关的知识加以求解。 13 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年9月 {#{QQABRQaAogioABJAAAgCQQVQCEOQkBGAAAoGgAAAsAAAQAFABCA=}#} 例 3 (2023年高考数学上海卷·13) 已知P={1,2},Q={2,3},若 M={x|x∈P 且x∉Q},则 M=( )。 A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3} 分析:根据题目条件,集合 M 中的元素 同时满足:x∈P 且x∉Q,结合题设集合P 与集合Q 中的元素,逐个分析与判断,注意抓 住集合中元素的特征,做到不重复不遗漏。 解:依题意,集合 M={x|x∈P 且x∉ Q},则 M={1}。故选A。 点评:此类以创新定义的形式给出集合 中元素的特征问题,关键是充分理解并把握 创新定义的内涵与实质,抓住创新定义中元 素具备的特征,充分考查考生的阅读理解、逻 辑推理及创新应用等能力。 四、明确集合的运算 集合之间的交、并运算的方法主要有:定 义法、韦恩图法、数轴法等。选择适当的集合 运算方法,结合相关知识加以求解。注意在 集合的运算中,一般应把参与运算的各个集 合化到最简形式,再进行运算。 例 4 (2023年高考数学