10 高中数学函数易错题分析-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■河南省许昌高级中学 郭曼曼 函数是高中数学的重点,也是难点。学 好函数是学好高中数学的前提,那么如何更 好地学习函数知识呢? 对同学们的易错题进 行分析是一个有效的途径。本文结合实践, 分析同学们在解决函数问题过程中经常出现 的错误,归纳了错误类型,并且就每种错误类 型给出了相应的例题、错误解法,重点分析了 错解原因,最后给出了正确解法。 易错点一、判断函数的奇偶性时忽视定 义域而致错 例 1 判断函数f(x)=(1+x)· 1-x 1+x 的奇偶性。 错解:因为f(x)=(1+x) 1-x 1+x = 1-x 1+x (1+x)2= 1-x2,所以f(-x)= 1-(-x)2=f(x),故f(x)=(1+x)· 1-x 1+x 是偶函数。 错因分析:函数的定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要不充分条件,因此, 在判断函数的奇偶性时,一定要先研究函数 的定义域。 正解:f(x)=(1+x) 1-x 1+x 有意义必 须满足 1-x 1+x≥0 ,即-1<x≤1,由于定义域 不关于原点对称,因此该函数既不是奇函数 也不是偶函数。 易错点二、求函数定义域时条件考虑不 充分而致错 例 2 求 函 数 y= 1 3-2x-x2 + (x+1)0 的定义域。 错解:由题意得3-2x-x2>0,解得-3 <x<1,所以原函数的定义域为[-3,1]。 错因分析:误以为(x+1)0 对任意实数 成立。 正解:由 题 意 得 3-2x-x2>0, x+1≠0, 解 得 -3<x<1, x≠-1, 所以原函数的定义域为(-3, -1)∪(-1,1)。 易错点三、忽视内层函数的值域是外层 函数的定义域而致错 例 3 已知函数f(x)=log3 x+2,x∈ [1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域。 错解:因为f(x)的值域为[2,4],所以函 数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,22]。 错因分析:求函数y=[f(x)]2+f(x2) 的定义域时,应考虑 1≤x≤9, 1≤x2≤9。 正解:因为f(x)的定义域为[1,9],所以 函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1, 3]。设t=log3 x,因为x∈[1,3],所以t∈ [0,1],由于y=t2+6t+6,t∈[0,1],所以函 数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13]。 易错点四、求函数的单调区间时忽视定 义域而致错 例 4 函数y= x2+3x的单调递减 区间为( ) A.-∞,- 3 2 B.-32,+∞ C.[0,+∞) D.(-∞,-3] 错解:令t=x2+3x,y= x2+3x是由 y=t与t=x2+3x 复合而成,又外层函数 y=t在[0,+∞)上单调递增,内层函数t= x2+3x 在 -∞,- 3 2 上 单 调 递 减,在 - 3 2 ,+∞ 上单调递增,根据复合函数同增 异减的原则可知,函数y= x2+3x的单调 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年9月 {#{QQABTQaEggCIAAIAAQhCQQEgCEOQkBEACIoGwBAMoAAAgAFABCA=}#} 递减区间为 -∞,- 3 2 。 错因分析:错解中没有考虑函数 y= x2+3x的定义域。 正解:由题意知x2+3x≥0,解得x≤ -3或x≥0,所以函数y= x2+3x的定义 域为(-∞,-3]∪[0,+∞)。令t=x2+ 3x,则外层函数y=t在[0,+∞)上单调递 增,内层函数t=x2+3x 在(-∞,-3]上单 调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以函数 y= x2+3x的单调递减区间为(-∞,-3]。 易错点五、忽略含参函数的分类讨论而 致错 例 5 若函数f(x)=ax2-x+1-a (a∈R)在[0,2]上是单调函数,则实数a 的 取值范围是 。 错解:由函数f(x)=ax2-x+1-a 在 [0,2]上是单调函数,则有 1 2a<0 或 1 2a≥2 ,解 得0<a≤ 1 4 或a<0。 错因分析:函数的二次项系数含参数a, 求解时应根据a 是否等于0分类讨论,错解 中忽视对a=0的讨论。若a=0,则函数为 y=-x+1,在R上是单调函数,满足题意。 正解:当a=0时,函数y=-x+1在 [0,2]上显然是单调函数;当a≠0时,要使函 数f(x)=ax2-x+1-a 在[0,2]上是单调 函数,则有1 2a<0 或 1 2a≥2 ,解得0<a≤ 1 4 或 a<0。综 上 所 述,实 数 a 的 取 值 范 围 为 -∞, 1 4 。 易错点六、忽略分段函数的分界点而 致错 例 6 已 知 函 数 f (x)= a-x,x<-1, (1-2a)x+3