09 导数易错题归类分析-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊
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教辅
内容正文:
B.-
π
4
,π
4
C.π4
,π
2
D.-
π
2
,π
4 ∪ π4,π2
解析:根据题意,构造新函数 g(x)=
f(x)
cos
x
,x ∈ -
π
2
,π
2 ,则 g' (x)=
f'(x)cos
x+f(x)sin
x
cos2x
<0,所以函数g(x)
在 -
π
2
,π
2 上单调递减。
又不等式f(x)< 2f
π
4 cos
x 等价于
f(x)
cos
x< 2f
π
4 =
f
π
4
cos
π
4
,即 g(x)<
g
π
4 ,结合函数的单调性可得π4<x<π2。
故选择答案:C。
点评:联系已知题目条件和结论,还原导
函数的本质,正确构建与三角函数相关的抽
象函数是解决问题的关键。特别地,在解一
些复杂的不等式问题时,要合理根据新构建
的函数及对应导函数的“形状”变换所求不等
式的“形状”,从而准确构建题设与结论之间
的有机联系,实现无缝链接。
解决导函数的混合还原问题,先在明确
题设条件中关系式或不等式的实质,结合函
数f(x)与其导函数f'(x)混合的关系式或
不等式的结构特征,对问题的条件和结论进
行对比、概括,合理数学抽象,判断对应的函
数类型与代数运算的基本性质,准确构建出
吻合题设条件的新函数,为进一步的问题分
析与应用奠定基础,也是解决此类问题的关
键点和难点所在。
(责任编辑 王福华)
导数易错题归类分析
■河南省许昌市建安区第一高级中学 李 丹
在高中阶段,导数是研究函数等知识的
重要工具。利用导数研究函数的性质,主要
涉及以下四个问题:(1)理解导数与函数的关
系;(2)利用导数求函数的切线;(3)利用导数
求函数的单调区间;(4)利用导数求函数的极
值和最值。这些内容都是高考的重点和难
点,每一个考点都要求理解透彻,否则做题时
很容易出错。现将导数中的易错题整理如
下,希望对同学们的复习备考能有所帮助。
一、没有正确理解导数定义致错
例 1 已知函数f(x)=loga x+1,求
lim
Δx→0
f(1-2Δx)-f(1)
Δx
。
错解:因 为 f(x)=loga x+1,所 以
f'(x)=
1
xln
a
,所以lim
Δx→0
f(1-2Δx)-f(1)
Δx
=f'(1)=
1
ln
a
。
错因分析:错误的主要原因是由于对导
数的定义理解不清,导数f'(x0)=lim
Δx→0
Δy
Δx=
lim
Δx→0
f(x0+Δx)-f(x0)
Δx
,函数在某一点 x0
处的导数,就是函数在这一点的函数值的增
量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋
近于零时的极限,分子与分母中的自变量的
增量Δx 必须保持对应一致,它是非零的变
量,可以是-2Δx,
1
2Δx
等。
正解:前面同错解,得lim
Δx→0
f(1-2Δx)-f(1)
Δx
=lim
Δx→0
f(1-2Δx)-f(1)
-2Δx
·(-2) = -2·
lim
Δx→0
f(1-2Δx)-f(1)
-2Δx =-2f'
(1)=-
2
ln
a
。
二、求导时忽视常数致错
例 2 若f(x)=e5+5x,则f'(x)=
。
错解:f'(x)=5e4+5xln
5。
错因分析:求导数时忽视了常数的导数
值为零,把e5 误以为x5 出错。做题时常见
72
解题篇 易错题归类剖析
高考数学 2023年9月
{#{QQABRQaAogggABIAAQhCQQFQCEOQkAGACAoGxBAIsAAAwBFABCA=}#}
的错误还有 sin
π
4 '=cosπ4、f(x)=x2+
f(1)求导得f'(x)=2x+f'(1)等。
正解:f'(x)=5xln
5。
三、求切线时忽视切点的位置致错
例 3 已知过曲线f(x)=13x
3 上的
点P 的切线方程为12x-3y-16=0,求点
P 的坐标和切点坐标。
错解:f'(x)=x2,设点P 的坐标为(x0,
y0),由题意知f'(x0)=x20=4,解得x0=
±2,所以P 2,
8
3 或 -2,-83 。
错因分析:过曲线的某一点作切线,此点
不一定是切点;若是曲线在某一点的切线,此
点必定是切点。因此,做题时一定要区分函
数在某点处的切线和过某点的切线,表述的
意思是不同的。
正解:设切点 M x0,
1
3x
3
0 ,则切线方程
为y-
1
3x
3
0=x20(x-x0),即 y=x20x-
2
3x
3
0,因为切线方程为
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