08 导函数的混合还原类型及应用-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

导函数的混合还原类型及应用 ■江苏省通州高级中学 严振君 对于一个含有函数f(x)与其导函数 f'(x)混合的不等式问题,多数同学对其感到 困惑,难以有效切入,导致解题思路受阻,造 成解题障碍或失败。解决此类导函数的混合 还原问题,往往需要构造新函数,并根据题意 判断新函数的导数符号,通过单调性的判断 来加以变形与解决。因此,正确还原出原函 数(即新函数),便成为破解此类导函数的混 合还原问题的关键,也体现了函数考查的基 础性、灵活性与规律性等。 一、线性运算型 对于题设条件或所求结论中给出形如 f'(x)±g'(x),f'(x)g(x)±f(x)g'(x)等 的结构式,往往通过构造两个对应函数的加 (或减)、乘(或除)的线性运算型的新函数 F(x)=f(x)±g(x),F(x)=f(x)g(x) 或F(x)=f (x) g(x) ,g(x)≠0 来分析与解决 问题。 例 1 (多选题)定义在(0,+∞)上的 函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)< f(x) x ,则对任意的x1,x2∈(0,+∞),其中 x1≠x2,下列不等式中一定成立的是( )。 A.f(x1+x2)<f(x1)+f(x2) B.f(x1)+f(x2)< x2 x1f (x1)+ x1 x2 · f(x2) C.f(2 x1)<2x1f(1) D.f(x1x2)<f(x1)f(x2) 解析:依题意,构造新函数g(x)= f(x) x (x>0),则g'(x)= xf'(x)-f(x) x2 。 结合f'(x)< f(x) x ,可得g'(x)<0,所 以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减。 由于x1+x2>x1,则有g(x1+x2)< g(x1),即 f(x1+x2) x1+x2 < f(x1) x1 ,整 理 可 得 x1 x1+x2f (x1 +x2)<f(x1),同 理 可 得 x2 x1+x2f (x1+x2)<f(x2),以上两个不等式 同向相加并整理得f(x1+x2)<f(x1)+ f(x2),故选项A正确。 利用函 数 的 单 调 性 可 得(x1-x2)· [g(x1)-g (x2)]<0,即 (x1 -x2)· f(x1) x1 - f(x2) x2 <0,整 理 可 得 f(x1)+ f(x2)< x2 x1f (x1)+ x1 x2f (x2),故选项B正确。 由于当x>0时,2x>1,则有g(2 x1)< g(1),即 f(2 x1) 2x1 <f (1) 1 ,整理可得f(2 x1)< 2x1f(1),故选项C正确。 取f(x)=1,符合题意,此时f(x1x2)= f(x1)f(x2)=1,故选项D错误。 故选择答案:ABC。 点评:正确构建与导函数的混合还原类 型相吻合的新函数,通过求导处理,结合新函 数的单调性来进一步展开与转化。此类以多 选题创新题型出现,经常要对新函数的单调 性加以多视角变形与转化,有时还要结合一 般特殊函数的构建,以特殊值的形式来判断 选项的错误性等问题。 二、方幂型 对于题设条件或所求结论中给出形如 xf'(x)±nf(x)等的结构式,往往通过构造 一个对应函数与xn 的乘(或除)的方幂型的 新函数F(x)=xnf(x)或F(x)= f(x) xn 来 分析与解决问题。 例 2 设函数f(x)是定义在(-∞,0) 上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足 3f(x)+xf'(x)>0,则 不 等 式 (x+ 2 023)3·f(x+2 023)+8f(-2)>0的解 集是 。 解析:根据题意,构造新函数g(x)= x3f(x)(x<0),则 g'(x)=3x2f(x)+ 52 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年9月 {#{QQABTQaEggAAAAJAAAgCQQUgCEOQkAEAAIoGhAAEoAAAABFABCA=}#} x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]>0,所以函 数g(x)在(-∞,0)上单调递增。 又不等式(x+2 023)3f(x+2 023)+ 8f(-2)>0 等 价 于 (x+2 023)3f(x+ 2 023)>(-2)3f(-2),即g(x+2 023)> g(-2),结合函数的单调性可得-2<x+ 2 023<0,解得-2 025<x<-2 023。 故填答案:(-2 025,-2 023)。 点评:准确构建与题设条件相吻合的新 函数是解决导函数的混合还原类型问题的根 本所在,需要同学们必须掌握一些基本类型, 并构建与题设相吻合的新函数。同时还要注 意合理变形与转化所求的不等式,使得题设 条件与所求结论之间是相吻合的。 三、指数型 对于