07 例读邻项作商思想在求离散函数最值中的运用-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■山西省平定县第一中学校 李海明 李素波 在高中阶段,我们除了要研究连续性函 数的最值,还经常会遇到一些离散型函数的 最值问题,比如数列中的最值、二项展开式中 系数的最值,以及一些离散型随机变量(超几 何分布、二项分布)的概率的最值等。下面我 们结合具体例子,来体会相邻两项作商思想 在解决这些问题中的作用。 一、数列中的最值 例 1 若数列 n(n+4)23 n 中的最 大项是第k项,求k的值。 解析:记an=n(n+4) 2 3 n ,则当n≥2 时, an an-1 = n(n+4)23 n (n-1)(n+3)23 n-1 = 2n(n+4) 3(n-1)(n+3)= 2n2+8n 3n2+6n-9 。 令 2n2+8n 3n2+6n-9 ≥1,即n2-2n-9≤0,解 得1- 10≤n≤1+ 10。 因为n∈N*,所以当2≤n≤4时,an> an-1;当n≥5时,an<an-1,即有a1<a2<a3 <a4>a5>a6>…,则数列{an}中的最大项 为a4,故k=4。 评注:这里运用了相邻两项作商比较的 方法,来判断数列{an}中的相邻两项an 与 an-1(n≥2)之间的大小关系,从而确定了数 列的单调性,解决了数列的最值问题。当然 也可以使用作差法,这里不再赘述。 二、二项展开式中系数的最值 例 2 已知 x+2 x2 n 的展开式中只 有第6项的二项式系数最大。求: (1)该展开式中所有有理数的项数; (2)该展开式中系数最大的项。 解析:由二项式系数的性质易知,n=10。 x+ 2 x2 10 的展开式的通项为Tk+1= Ck10(x)10-k 2 x2 k =2kCk10x 10-5k 2 ,k=0,1,2, …,10。 (1)所有有理项的项数为6。(过程略) (2)记ak=2kCk10,k=0,1,2,…,10,所以 当 1 ≤ k ≤ 10 时, ak ak-1 = 2kCk10 2k-1Ck-110 = 2· 10! k! (10-k)! 10! (k-1)! (11-k)! = 22-2k k ,令22-2k k ≥1 , 可得k≤ 22 3 。因为k为正整数,所以当1≤k ≤7时,ak>ak-1;当8≤k≤10时,ak<ak-1, 即a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7>a8>a9> a10,则数列{ak}中的最大值为a7。 故展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 为 T8 = 27C710x -252=15 360x -252。 评注:这里虽然知识背景换成了二项式 定理,然而其展开式的各系数实质上依次构 成了一个含有11项的有穷数列,仍然采用了 作商法,解决其系数的最大值,进而求出系数 最大的项。 三、超几何分布中的概率最值 例 3 (2023年四省联考第20题)一 个池塘里的鱼的数目记为 N,从池塘里捞出 200尾鱼,并给鱼作上标识,然后把鱼放回池 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年9月 {#{QQABRQYEoggoAABAAAhCQQFgCECQkAEAAIoGgAAIsAAAABFABCA=}#} 塘里,过一小段时间后再从池塘里捞出500 尾鱼,X 表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼 的数目。 (1)若N=5 000,求X 的数学期望; (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标 识,试给出 N 的估计值(以使得P(X=15) 最大的N 的值作为N 的估计值)。 解析:依题意,X 服从超几何分布,其中 N=5 000,M=200,n=500。 (1)E(X)=n· M N=500 ·200 5 000=20 。 (2)由 N≥500且 N-200≥485,可得 N≥685。 所以当N<685时,P(X=15)=0; 当N≥685时,P(X=15)= C15200C485N-200 C500N 。 记aN= C15200C485N-200 C500N (N≥685),则当 N≥ 686 时, aN aN-1 = C15200C485N-200 C500N C15200C485N-201 C500N-1 = C500N-1C485N-200 C500N C485N-201 = (N-500)(N-200) N(N-685) = N2-700N+100 000 N2-685N 。 令 N2-700N+100 000 N2-685N ≥1,可得 N≤ 100 000 15 ≈6 666.7,而 N 为 正 整 数,则 当 686≤N≤6 666时,aN>aN-1;当 N≥6 667 时,aN <aN-1,即 a685<a686<…<a6 665< a6