06 巧同构函数，妙解决问题-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

巧同构函数,妙解决问题 ■江苏省江浦高级中学 经中进 在解决一些涉及函数或方程、代数式、不 等式等相关问题时,经常需要对相应的函数 或方程、代数式、不等式等进行恒等变形与巧 妙转化,分析等式或不等式两边所涉及的关 系式的结构特征,合理寻找共性或同型,巧妙 同构函数,借助新函数的构建与基本性质的 应用等来分析与解决问题。 一、函数值的确定 在函数值的确定等相关问题中,经常借助同 构函数,使得不同变量条件下相应的函数值相等, 利用函数的基本性质得以确定相关的变量相等, 为接下来函数值的确定提供条件与应用。 例 1 已知函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有 xf(x+1)= (x+1)f(x),那 么 f 2 023 2 的值是( )。 A.0 B. 1 2 C.1 D. 5 2 分析:根据题设的关系式进行恒等变形, 通过同构函数来确定新函数的周期性,进而 对函数的值进行简化处理,利用题设函数的 奇偶性来转化并确定相关函数的值,结合同 构函数的基本性质来合理求值与应用。 解:当x≠-1且x≠0时,由xf(x+1) =(x+1)f(x),可得 f(x+1) x+1 = f(x) x ,同构 函数g(x)= f(x) x ,则有g(x+1)=g(x), 所以函数g(x)是周期为1的周期函数,所以 g 2 023 2 =g 12 =2f 12 ,而当x=-12时, 由xf (x +1)= (x +1)f (x),可 得 - 1 2f 1 2 =12f -12 ,结合函数f(x)是 定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,则 有f 1 2 =f -12 ,所以f 12 =0,所以 g 2 023 2 =g 12 =2f 12 =0,所 以 f 2 023 2 =2 023 2 g 2 023 2 =0。 故选择答案:A。 点评:借助函数关系式的结构特征进行合 理同构函数,往往可以创设具有特殊函数基本 性质(奇偶性、单调性或周期性等)的新函数, 借助同构的新函数来进行合理解决问题,特别 是在解决一些抽象函数问题时,更具效力。 二、大小关系的判断 在代数式的大小关系的判断等相关问题 中,经常借助同构函数,利用函数的单调性的 确定与性质应用,巧妙确定对应的变量的大 小关系,是解决相关大小关系的判断中比较 常用的一种技巧方法。 例 2 (2023年山东省济南市章丘区 高考数学模拟试卷(5月份))已知α,β∈ 0, π 2 ,且3α-2sin β=9β-α,则( )。 A.α<2β B.α>2β C.α>β2 D.α<β2 分析:根据题设条件,先证明不等式x> sin x 成立,进而得以合理放缩题设条件中的 不等式,合理配凑处理,巧妙同构函数,利用 复合函数的单调性及其性质,得以确定相关 代数式的大小关系问题。 解:设函数f(x)=x-sin x,x∈ 0, π 2 , 求导得f'(x)=1-cos x>0恒成立,即函数 f(x)在0, π 2 上单调递增,所以f(x)>f(0) =0,故x>sin x。由于3α-2sin β=9β-α,可得 3α+α=2sin β+9β=2sin β+32β<2β+32β。同构 函数g(x)=3x+x,则知g(α)<g(2β),结合指 数函数与一次函数的基本性质,易得函数g(x) 在R上单调递增,所以α<2β。 故选择答案:A。 点评:含有一定条件(等式或不等式)的大小 关系的比较问题,日渐成为新高考数学考试命题 的一个热点。而多变量往往是这类问题中处理 的一个难点,解决的途径通常是首先分离变量,结 合表达式的结构特征,合理同构恰当的函数,借助 函数的单调性与最值等相关问题来转化与应用。 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年9月 {#{QQABZQwAoggAAgBAAAgCQQEwCkCQkBCACIoGwAAAoAAAwQFABCA=}#} 三、代数式子的求值 在一些代数式子的求值等相关问题中, 经常借助同构函数,结合函数的基本性质构 建相应的函数值的关系,得以转化与变形对 应的变量关系,得以构建相关的代数式子及 对应的求值问题。 例 3 (2023年江苏省南京师大附属 扬子中学高考数学模拟试卷)已知实数a,b ∈(0,2),且满足a2-b2-4= 4 2b -2a-4b,那 么a+b的值为 。 分析:根据题意,通过对方程进行合理的 变形与配凑,使得等号两边具备同型的结构 特征,进而合理同构函数,利用基本初等函数 的性质确定相应同构函数的单调性,利用函 数的单调性确定相关的变量相等,进而得以 解决相关的代数式子的求