05 借助抽象函数模型,解决函数性质问题-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊
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教辅
内容正文:
(2)若a1,a2∈R,且{a1,a2}是二元“创新
集”,不妨设a1+a2=a1·a2=m,则由根与
系数的关系知a1,a2 是一元二次方程x2-
mx+m=0的两个实数根,由判别式Δ=m2
-4m>0,解得m<0或m>4,即a1·a2<0
或a1·a2>4,所以a1·a2 的取值范围为
(-∞,0)∪(4,+∞)。
(3)不妨设集合 A 中的元素a1<a2<
a3<…<an,由a1·a2·…·an=a1+a2+…+
an<nan,可得a1·a2·…·an-1<n。
当n=2时,有a1<2,结合ai 是正整数可
得a1=1,于是1+a2=a2,此时无解,不存在满
足条件的“创新集”A;
当n=3时,有a1a2<3,故只能a1=1,
a2=2,求得a3=3,此时“创新集”A 只有一个
为{1,2,3};
当n≥4时,由a1·a2·…·an-1≥1·
2·3·…·(n-1),若“创新集”A 存在,则需
n>1·2·3·…·(n-1),但是1·2·
3·…·(n-1)≥(n-1)(n-2)=n2-3n+
2矛盾,即当n≥4时不存在“创新集”A。
综上分析,可知“创新集”A={1,2,3}。
点评:解决此类集合中的定义新综合问
题,关键是理清题目的创新内涵,综合集合、
函数与方程、不等式等相关知识加以交汇,渗
透相关的数学思想与数学方法,实现问题的
交汇与融合。此题以集合 新 综 合 为 问 题 背
景,巧妙融入集合、函数与方程、不等式等知
识,以及推理与证明、数学运算等基本能力。
创新意识与创新应用问题可以很好地考
查同学们的阅读理解能力、创新应用能力、知
识迁移能力与终生学习能力等,也是历年高
考命题中的一大亮点,备受各方关注。融入
集合知识,渗透创新意识与创新应用,有效检
测同学们对知识理解与掌握的广度和深度,
挖掘同学们的学习潜能,提高数学品质,提升
数学能力,培养创新意识与数学核心素养。
(责任编辑 王福华)
■江苏省常熟市浒浦高级中学 夏 朴
抽象函数是一类不给出具体函数解析
式,只给出函数的特殊条件或特征的函数模
型。抽象函数问题可以全面考查函数的概念
和性质,将函数的定义域、值域、单调性、奇偶
性、周期性、对称性及函数图像等集于一身,
是考查函数及其相关知识的良好载体,备受
各类命题者的青睐。抽象函数问题具有较强
的抽象性,问题创设新颖,构思巧妙,条件隐
蔽,技巧性强,解法灵活,往往让同学们感觉
头痛,无从下手。本文借助抽象函数模型的
创设,结合函数的基本性质,打开解题思路,
开拓解题思维,对抽象函数问题的解决会起
到事半功倍的效果。
一、抽象函数的单调性
在研究抽象函数的单调性中,关键是要
依据函数单调性的定义,利用任意变量x1、
x2 的大小关系,结合题目条件,构建与变量
x1、x2 相对应的函数值f(x1)与f(x2)的大
小关系,得以巧妙确定抽象函数的单调性,并
利用函数的单调性来解决一些诸如解不等
式、判断大小关系等应用问题。
例 1 已知定义在 R上的函数f(x)
满足:
①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2023年9月
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②当x>0时,f(x)>-1。
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是
增函数;
(2)若 f(1)=1,解关于 x 的不等式
f(x2+2x)+f(1-x)>4。
解析:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0)
+1,可得f(0)=-1。
设∀x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>
0,有f(x1-x2)>-1。
又因为f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=
f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函数
f(x)在R上是增函数。
(2)由f(1)=1,可得f(2)=3,f(3)=
5。
由f(x2+2x)+f(1-x)>4,可得
f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即f(x2+x
+1)>f(3),又函数f(x)在R上是增函数,
故有x2+x+1>3,解得x<-2或x>1。
故所求不等式的解集为{x|x<-2或
x>1}。
点评:在涉及抽象函数的单调性的判定
与应用中,特别是在解决与抽象函数的单调
性有关的不等式求解问题时,可通过脱去函
数符号“f”转化为一般的含参数x 的不等式
求解,但无论如何都必须在同一单调区间内
进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应
将
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