03 高考中关于导数构造问题的题型探析-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

高考中关于导数构造问题的题型探析 ■甘肃省嘉峪关市第一中学 牛淑琴 导数构造问题是高考中的高频考点,常 常需要根据导数的结构特点构造合适的函 数,进而利用函数的单调性与奇偶性等求解。 对同学们的数据分析能力、推理能力、计算能 力等要求很高,题目的难度一般都属于中等 以上。 本文梳理总结了八种题型,集中体现 了由“导”寻“源”之根本所在。 题型一、函数与幂函数乘法的构造 本题型主要涉及两种结构:对于xf'(x) +f(x)>0(或<0),构造g(x)=x·f(x); 对于 xf'(x)+kf(x)>0(或<0),构造 g(x)=xk·f(x)。 例 1 已知函数f(x)是定义在区间 (0,+∞)上的可导函数,其导函数为f'(x), 且满 足 f'(x)+ 2 xf (x)>0,则 不 等 式 (x+2 023)f(x+2 023) 3 < 3f(3) x+2 023 的解集 为( )。 A.{x|x>-2 020} B.{x|x<-2 020} C.{x|-2 023<x<0} D.{x|-2 023<x<-2 020} 解析:根据题意,设g(x)=x2f(x),x> 0,则g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)。因为函数 f(x)在 区 间(0,+∞)上 满 足 f'(x)+ 2 xf (x)>0,则有x2f'(x)+2xf(x)>0 ,所 以g'(x)>0,即函数g(x)在区间(0,+∞) 上为增函数。由 (x+2 023)f(x+2 023) 3 < 3f(3) x+2 023⇒ (x+2 023)2f(x+2 023)< 32f(3),所以g(x+2 023)<g(3),则有0< x+2 023<3,解得-2 023<x<-2 020,即 所求不 等 式 的 解 集 为{x|-2 023<x< -2 020}。故选D。 例 2 已知定义在R上的函数f(x)满 足:函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)+ xf'(x)>0成立(f'(x)为f(x)的导函数)。若 a= -f(-1),b= (ln 2)f(ln 2),c= 2flog1 2 1 4 ,则a,b,c的大小关系为( )。 A.a>c>b B.b>a>c C.c>b>a D.a>b>c 解析:设g(x)=xf(x),x<0,则g'(x) =f(x)+xf'(x)。因为当x<0时,f(x)+ xf'(x)>0成立,所以g'(x)>0,g(x)为单 调递增函数。又因为函数f(x)为奇函数,可 得f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-x· f(-x)=xf(x)=g(x),所以函数g(x)为 偶函数,所以函数g(x)在(0,+∞)上为单调 递减函数。由a=-f(-1)=g(-1)= g(1),b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2),c= 2flog1 2 1 4 =2f(2)=g(2),又因为ln 2< 1<2,所以g(ln 2)>g(1)>g(2),即b> a>c。故选B。 题型二、函数与幂函数除法的构造 本题型主要涉及两种结构:对于 x· f'(x)-f(x)>0(或<0),构造 g(x)= f(x) x ;对于x·f'(x)-kf(x)>0(或<0), 构造g(x)= f(x) xk 。 例 3 设函数f(x)是定义在(0,+∞) 上的可导函数,且xf'(x)>2f(x),则不等 式4f(x-2 022)-(x-2 022)2f(2)<0的 解集为( )。 A.(2 022,2 023) B.(2 022,2 024) C.(2 022,+∞) D.(0,2 023) 解析:由题意知函数f(x)在(0,+∞)上 满足xf'(x)>2f(x),即xf'(x)-2f(x)> 0。设 g (x)= f(x) x2 ,则 g' (x)= x2f'(x)-2xf(x) x4 = xf'(x)-2f(x) x3 >0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增。因为 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年9月 {#{QQABbQyEoggIAABAAAgCQQVQCkOQkAGACIoGBBAAsAAAQBFABCA=}#} 4f(x-2 022)-(x-2 022)2f(2)<0,所以 f(x-2 022) (x-2 022)2 <f (2) 22 ,所以 x-2 022>0, x-2 022<2, 解 得2 022<x<2 024,即所求不等式的解集为 (2 022,2 024)。故选B。 例 4 设