02 高考中关于函数的命题动向分析-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■西北师范大学附属中学 缑小锋 函数作为高中数学内容的一条主线,对 整个高中数学的学习有着重要的意义,每年 高考卷都将其作为必考题,出现在选择题或 填空题中,常以基本函数、基本函数组成的复 合函数及抽象函数为载体,对函数内容和性 质进行考查,考查的内容有函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、图像等, 且常与导数、不等式、方程等知识交汇命题, 考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数 与方程等思想方法。 本文着重梳理高考中函 数四大性质(单调性、奇偶性、对称性、周期 性)的命题方向分析。 一、函数的单调性及其应用 1.利用单调性求复合函数的单调区间 复合函数的单调性问题,基本遵从“同增 异减”的原则,常用到的结论有:①若f(x)是 增函数,则-f(x)为减函数;若f(x)是减函 数,则-f(x)为增函数;②若f(x)和g(x) 均为增(或减)函数,则在f(x)和g(x)的公 共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数; ③若f(x)>0且f(x)为增函数,则 f(x) 为增函数, 1 f(x) 为减函数;④若f(x)>0且 f(x)为减函数,则 f(x)为减函数, 1 f(x) 为 增函数。 例 1 函数y=lg(2cos x- 3)的单调 递增区间为( )。 A.(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z) B.2kπ+π,2kπ+ 11 6π (k∈Z) C.2kπ- π 6 ,2kπ (k∈Z) D.2kπ,2kπ+ π 6 (k∈Z) 解析:根据题意可知2cos x- 3>0,解 得2kπ- π 6<x<2kπ+ π 6 ,k∈Z。因为函数 y=lg x 在定义域内为单调递增函数,且函 数y=2cos x- 3在 2kπ- π 6 ,2kπ (k∈Z) 内为单调递增函数,根据复合函数的单调性 可知函数y=lg(2cos x- 3)的单调递增区 间为 2kπ- π 6 ,2kπ (k∈Z)。故选C。 2.利用单调性求函数的值域 在利用函数的单调性求函数的值域时应 先判断函数的单调性,再求值域。 例 2 已知函数f(x)为定义在 R上 的单调函数,且f(f(x)-2x-2x)=10,则 f(x)在[-2,2]上的值域为 。 解析:因为f(x)为定义在 R 上的单调 函数,所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10, 则f(x)-2x-2x=t,所以f(t)-2t-2t= t,即f(t)=2t+3t=10。因为函数y=2t+ 3t为增函数,且22+3×2=10,所以t=2, f(x)=2x+2x+2。易知f(x)在[-2,2]上 为增函数,且f(-2)=- 7 4 ,f(2)=10,故 f(x)在[-2,2]上的值域为 - 7 4 ,10 。 3.利用单调性求参数的范围 利用函数的单调性求参数时,通常要把 参数视为已知数,依据函数的图像或单调性 定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间 比较,利用区间与端点之间的关系求参数。 同时注意函数定义域的限制,遇到分段函数 时要注意分点与左右端点处的函数值的大小 关系。 例 3 已 知 函 数 f (x)= (3a-1)x+4a(x<1), a x (x≥1), 满足对任意的实数 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年9月 {#{QQABbQyEogiAAAAAAQhCQQFQCkOQkBGAAIoGQAAIsAAAwAFABCA=}#} x1,x2,且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1 -x2)<0,则实数a的取值范围为( )。 A.17 ,1 B.0,13 C.16 ,1 3 D.16,1 解析:由[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0, 知 f(x1)-f(x2) x1-x2 <0成立,可得函数图像上 任意两点连线的斜率小于0,说明f(x)是减 函数,则 3a-1<0, a>0, 3a-1+4a≥a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a∈ 16, 1 3 。 例 4 已知函数 f(x)=loga(x2- ax+3)在[0,1]上是减函数,则实数a 的取 值范围为( )。 A.(0,1) B.(1,4) C.(0,1)∪(1,4) D.[2,4) 解析:函数f(x)=loga(x2-ax+3)在 [0,1]上是减函数。当0<a<1时,x2-ax +3= x- a 2 2 +3- a2 4≥3- a2 4>0 恒成立, 而函数u=x2-ax+3在区间[0,1]上不单 调,因此0<a<1不符合题意。当a>1时, 函数y=loga u在(0,+∞)上单调递增,于是 得函数u=x2-ax+3在区间[0,1]上单调 递