01 浅析常用逻辑用语的命题方向-《中学生数理化》高考数学2023年9月刊

■甘肃省教育科学研究院 卞 蕾 在高考中,常用逻辑用语一般与其他知 识相结合,主要考查命题及其关系、含逻辑联 接词的命题的真假判断、存在量词命题与全 称量词命题的判断及其否定的书写、充要条 件的判定,通常有以下六个命题方向。 一、充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件的考查范 围广,需要同学们注重对综合知识的积累。 例 1 已知p:方程x2-4x+4a=0有 实根;q:函数f(x)=(2-a)x 为增函数。则 p 是q的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为方程x2-4x+4a=0有实 根,所以Δ=16-16a≥0,所以a∈(-∞, 1];因为函数f(x)=(2-a)x 为增函数,所 以2-a>1,所以a∈(-∞,1)。因为(-∞, 1)真包含于(-∞,1],所以p 是q 的必要不 充分条件。故选B。 例 2 已知圆C1:x2+y2=1和圆C2: (x-a)2+y2=16,其中a>0,则使得两圆相 交的一个充分不必要条件可以是( )。 A.3<a<5 B.3<a<6 C.4<a<5 D.2<a<5 解析:由题意知C1(0,0)且半径r1=1, C2(a,0)且半径r2=4,结合a>0,可知当 r2-r1<a<r2+r1 时,两圆相交,则3<a< 5,所以A选项为3<a<5的充要条件;B,D 选项为3<a<5的必要不充分条件;C选项 为3<a<5的充分不必要条件。故选C。 例 3 若x>0,y>0,则“x+y<4”的 一个必要不充分条件是( )。 A.x2+y2<8 B.x< 4-y C.xy<4 D. 1 x+ 1 y <1 解析:对于选项 A:若 x2+y2<8,则 (x+y)2=x2+y2+2xy<8+2xy≤8+ 2x+y2 2 ,所以(x+y)2<16,又因为x>0, y>0,所以0<x+y<4,所以“x2+y2<8” 是“x+y<4”的充分条件,所以选项A错误; 对于选 项 B:若 x < 4-y,则(x)2< (4-y)2,所以x<4-y,即0<x+y<4, 所以“x< 4-y”是“x+y<4”的充分条 件,所以选项B错误;对于选项C:由x+y< 4得xy≤ x+y 2 2 <4,令x= 1 4 ,y=8,满足 xy<4,但x+y>4,所以“xy<4”是“x+ y<4”的一个必要不充分条件,所以选项C 正确;对于选项D:令x= 1 5 ,y=3,满足x+ y<4,但 1 x+ 1 y >1,所以“ 1 x+ 1 y <1”不是 “x+y<4”的必要条件,故选项D错误。故 选C。 二、根据充分必要条件求参数的取值 范围 在由充分必要条件求解参数的取值范围 问题时,一定要注意端点是否能取到。 例 4 若“1<x<2”是“不等式(x- a)2<1成立”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( )。 A.[1,2) B.(1,2] C.[1,2] D.(1,2) 解析:由(x-a)2<1得a-1<x<a+ 1,因为1<x<2是不等式(x-a)2<1成立 的 充 分 不 必 要 条 件,所 以 a-1≤1, a+1≥2, 即 a≤2, a≥1, 解得1≤a≤2。故选C。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年9月 {#{QQABZQyEogiAAgAAAQhCQQUwCECQkBAACIoGBBAIoAAAgQFABCA=}#} 例 5 设p:2x2-3x+1<0,q:x2- (2a+1)x+a(a+1)<0,若q是p 的必要不 充分条件,则实数a的取值范围为( )。 A.0, 1 2 B.0, 1 2 C.(-∞,0]∪ 12 ,+∞ D.(-∞,0)∪ 12 ,+∞ 解析:由题设可得,p: 1 2<x<1 ,q:a< x<a+1,因为q是p 的必要不充分条件,所 以 a≤ 1 2 , a+1≥1, 解得0≤a≤12。故选A。 三、全称量词命题与存在量词命题的 真假 例 6 已知命题p:∃x∈N,使得ex< 0(e为自然对数的底数);q:∀x∈R,都有 x2+|x|≥0,则下列判断正确的是( )。 A.p 真,q假 B.p 真,q真 C.p 假,q真 D.p 假,q假 解析:因为∀x∈N,都有ex>0,所以命 题p 为假命题;因为∀x∈R,都有x2≥0, |x|≥0,所以x2+|x|≥0,所以命题q 为真 命题。故选C。 例 7 下列命题中为假命题的是( )。 A.∃x∈R,sin x= 2 2 B.∃x∈R,ln x=-1 C.∀x∈R,x2>0 D.∀x∈R,3x>0 解析:对于选项A,因为-1≤sin x≤1