09 不同的视角同样的精彩——以2023年全国新高考1卷第18题为例-《中学生数理化》高二数学2023年9月刊

不同的视角　同样的精彩 ———以2023年全国新高考Ⅰ卷第18题为例 ■河北省南宫中学 秘晓达 霍忠林 对立体几何中空间角计算的考查是高考 中的热点内容。本文通过四种视角六种解法 对2023年全国新高考Ⅰ卷第18题第二问进 行多视角剖析,以期对同学们有所启示。 图1 题目:(2023年全国新高 考Ⅰ卷第18题)如图1,在正 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|=2,|AA1|=4,点 A2,B2,C2,D2 分 别 在 棱 AA1,BB1,CC1,DD1 上, |AA2|=1,|BB2|=|DD2| =2,|CC2|=3。 (1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点 P 在棱 BB1 上,当二面角 P-A2C2-D2 为150°时,求 |B2P|的值。 视角一、空间向量坐标法 该视角就是通过建立空间直角坐标系, 写出点的坐标,进而求出所需向量,这种处理 手段基本上不用作辅助线就能使问题得到解 决,且解答过程具有可操作、可模仿、机械化 的特点,因此受到大家的喜爱。 图2 解法1:由题意知CD, CB,CC1 两两垂直,如图2 建立空间直角坐标系C-xyz。 则A2(2,2,1),C2(0, 0,3),D2(2,0,2)。 设P(0,2,t)(其中0≤ t≤4),从而 A2C2→=(-2, -2,2),PA2→=(2,0,1- t),A2D2→=(0,-2,1)。 设平面PA2C2 的法向量m=(x1,y1,z1), 则 m·A2C2→=0, m·PA2→=0, 即 -2x1-2y1+2z1=0 , 2x1+(1-t)z1=0。 取z1=2,可得m=(t-1,3-t,2)。 设平面D2A2C2 的法向量n=(x2,y2,z2), 则 n·A2C2→=0, n·A2D2→=0, -2x2-2y2+2z2=0 , -2y2+z2=0。 取z2=2,可得n=(1,1,2)。 所以|cos<m,n>|= |m·n| |m|·|n|= |(t-1)·1+(3-t)·1+2·2| (t-1)2+(3-t)2+22· 12+12+22 = |cos 150°|,解得t=1或t=3,故|B2P|=1。 评注:本解法将二面角问题转化为两个 法向量夹角问题来处理,这是利用空间向量 坐标法处理二面角问题的最常用方法。 图3 解法2:由解法1可得 P(0,2,t)(其中0≤t≤4), A2C2→=(-2,-2,2)。连 接B2D2,设B2D2 交A2C2 于O 点,则OD2→= 1 2BD →= (1,-1,0),且A2C2→·OD2→ =0,故 D2O⊥A2C2。如图 3,作PH⊥A2C2,垂足为 H,从而OD2→ 与 HP→ 所成的角就等于二面角P-A2C2-D2 的大小。 因此,cos<OD2→,HP→>=cos 150°=- 3 2 。 令A2H→=λA2C2→=(-2λ,-2λ,2λ)(其 中0≤λ≤1),则 H(2-2λ,2-2λ,1+2λ)。 故 HP→=(2λ-2,2λ,t-1-2λ)。 由 HP→·A2C2→=0,得-2(2λ-2)-2× 2λ+2(t-1-2λ)=0,故t=6λ-1。 所以 HP→=(2λ-2,2λ,4λ-2)。 故 - 3 2 = cos <OD2→,HP→ > = OD2→·HP→ |OD2→|·|HP→| = 1·(2λ-2)+(-1)·2λ+0·(4λ-2) (2λ-2)2+(2λ)2+(4λ-2)2· 12+(-1)2+02 。 解得λ= 1 3 或λ= 2 3 ,即t=1或t=3,故 33 解题篇 新颖试题赏析 高二数学 2023年9月 {#{QQABZQQAggAIABBAAAhCQQVQCkOQkAEAAAoGhBAAoAAAQBNABCA=}#} |B2P|=1。 评注:本解法将二面角问题转化为两个 向量夹角问题来处理,这种处理手段避开了 求两个平面的法向量。 视角二、空间向量基底法 由空间向量基本定理可知:空间中的任 意一个向量都可以通过空间向量的一组基底 来表示,一般选取模和夹角均已知的不共面 的三个向量作为基底。 解法3:注意到DA→,DC→,DD2→ 两两垂直 且|DA→|=|DC→|=|DD2→|=2,因此,可以将 DA→,DC→,DD2→ 作为空间向量的一组基底。 设A2H→=λA2C2→(其中0≤λ≤1),而A2C2→= A2A→+AC→ +CC2→ = - 1 2DD2 → + (DC→ - DA→)+32DD2 →=-DA→+DC→+DD2→,故A2H→ =λ(DC→-DA→+DD2→)。 设BP→=μBB1→(其中0≤μ≤1),即BP→ =2μDD2 →。所 以 HP→ =A2P→ -A2H→ = (A2A→+A