08 巧借法向量，破解截面问题-《中学生数理化》高二数学2023年9月刊

巧借法向量，破解截面问题 ■福建省德化第一中学 陈玉兰 吴志鹏(正高级教师) 在立体几何中,截面是指用一个平面去 截一个几何体所得到的图形。空间几何体的 截面问题是高考的难点问题,主要考查截面 形状的判断及其周长、面积等相关计算问题, 也经常考查截面与空间几何体棱交点的位置 问题。解决这些问题的关键是能在几何体中 画出截面图形,一般可以从以下两个视角解 决:一个是传统的欧式几何的视角,根据条件 画出几何体的截面,需要一定的空间想象能 力,这对于部分同学而言是难点;另一个是向 量的视角,相比传统的欧式几何,用向量的方 法解决问题不需要添加太多的辅助线,思维 量小。用向量法解决平面问题,重点是求平 面的法向量,灵活运用法向量去求解立体几 何中“空间距离”、“空间角”等问题,本文着重 介绍利用平面的法向量,求解与截面相关的 问题。 一、判断点与截面的位置关系 图1 例 1 (2019年北京 市高考)如图1,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,AD∥ BC,|PA|=|AD|= |CD|=2,|BC|=3。E 为 PD 的 中 点,点 F 在 PC 上,且 |PF| |PC|= 1 3 。 (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P 的余弦值; (3)设点G 在PB 上,且 |PG| |PB|= 2 3 。判 断直线AG是否在平面AEF内,并说明理由。 解析:(1)(2)解答过程略。 (3)以点A 为坐标原点,平面ABCD 内 与AD 垂直的直线为x 轴,分别以 AD→,AP→ 为y 轴,z轴的正方向建立如图2所示的空 间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0, 图2 2),C(2,2,0),D(0,2, 0)。 由 PF→=13PC →,可 得 点 F 的 坐 标 为 F 23 ,2 3 ,4 3 。 由 PE→=12PD →,可 得E(0,1,1)。 设平面AEF 的法向量为m=(x,y,z), 则 m·AF→=23x+ 2 3y+ 4 3z=0 , m·AE→=y+z=0。 据此可得平面AEF 的一个法向量为m =(1,1,-1)。 由P(0,0,2),B(2,-1,0),且 PG→= 2 3PB → 可得,AG→=AP→+PG→=AP→+23PB →= 4 3 ,- 2 3 ,2 3 。 已知平面AEF 的一个法向量为m=(1, 1,-1),可得m·AG→=0。 又因为点A 在平面AEF 内,故直线AG 在平面AEF 内。 评析:解决立体几何中点是否在平面内 即多点共面问题,如果直接作出截面与棱的 交点比较困难,那么可以考虑利用法向量解 决问题,即平面的法向量与平面上的每条直 线都垂直,过平面内的一点与平面的法向量 垂直的直线都在平面内,利用向量的数量积 是否为0,判断点是否在平面内。 二、探究截面图形的基本元素 1.判断截面图形的形状 例 2 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别AD,C1D1 的中点,过 M,N, B1 三点的平面截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面形状为( )。 92 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年9月 {#{QQABbQQEogigAABAAAhCQQUgCkOQkBGAAIoGgBAEsAAAAANABCA=}#} A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 图3 解析:以A 为坐标原 点,分别以 AB→,AD→,AA1→ 为x,y,z轴的正方向,建 立如图3所示的空间直角 坐标 系 A-xyz。不 妨 设 |AB|=2,则 M(0,1,0), B1(2,0,2),N(1,2,2), 故B1N→=(-1,2,0),B1M→=(-2,1,-2)。 设n=(x,y,z)是平面B1MN 的一个法 向量,则n⊥B1N→,n⊥B1M→。 故 n·B1N→=-x+2y=0, n·B1M→=-2x+y-2z=0。 不妨取n=(4,2,-3)。 ①若截面与棱 AB 存在交点Q,则可设 Q=(a,0,0),其中0≤a≤2,此时 MQ→=(a, -1,0)。 因为 MQ 在平面B1MN 内,所以n· MQ→=4a-2=0,解得a=12。 ②若截面与棱DD1 存在交点R,则可设 R=(0,2,b)(0≤b≤2),有 MR→=(0,1,b)。 所以n·MR→=2-3b=0,解得b=23。 依次连接点B1,Q,M,R,N,就可以得 到截面为五边形。选B。 评析:本题解答过程中假设Q 点与R 点 是截面与棱AB、DD1 的交点,此时求解出来 的参数a,b均应在规定的范围内,若不在规 定的范围内,则交点的位置发生改变,需重新 假设交点的坐标。 2.求解截面的周长 例