07 例谈立体几何综合题中的建系策略-《中学生数理化》高二数学2023年9月刊

例谈立体几何综合题中的建系策略 ■广东省兴宁市第一中学 蓝云波 立体几何综合问题的常见解题方法有两 种,即传统方法与空间向量方法。由于传统方 法对同学们的空间想象能力要求较高,加之需 根据题意作出辅助线,故对不少同学来说具有 一定的挑战。因此利用空间向量方法解决立 体几何综合问题是很多同学的首选,而空间向 量坐标法是空间向量方法中最常使用的方法, 解题的基础是要根据题中的条件建立恰当的 空间直角坐标系。随着高考对同学们的综合 素养的能力要求越来越高,高考涌现出越来越 多灵活多变的考题,对大家如何建立空间直角 坐标系也提出了更高的要求。因此,如何建系 成为同学们成功解决立体几何综合问题必须 迈过的一道坎。为帮助同学们彻底解决这个 问题,本文探究并总结出建系的四种常见策 略,以期对同学们学习有所帮助,从而达到提 高大家的数学素养与能力的目的。 一、借助三条两两垂直的直线建系 图1 例 1 (福建省部分地 市2023届高三第一次质量 检测)如 图1,在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,|AC|= 2,AB⊥BC,E,F 分别为 BB1,CA1 的中点,且 EF⊥ 平面AA1C1C。 (1)求|AB|的长; (2)若|AA1|= 2,求二面角C-A1E-A 的余弦值。 解析:(1)因为 EF⊥平面 AA1CC1,且 A1C⊂平面AA1CC1,所以EF⊥A1C。 又因为F 为A1C 的中点,所以|EA1|= |EC|。 又在Rt△A1B1E、Rt△BEC 中,|BE|= |EB1|,易证得△A1B1E≌△CBE,故|A1B1| =|BC|。 因为|AB|=|A1B1|,所以|AB|=|BC|。 又因为AB⊥BC,|AC|=2,所以|AB|=1。 (2)以点B1 为原点,建立如图2所示的 图2 空间直角坐标系B1-xyz。 由题意可知A1(1,0,0), E 0,0, 2 2 ,C(0,1,2),则 A1E→= -1,0,22 ,A1C→= (-1,1,2)。 不妨 设 m=(x0,y0, z0)是 平 面 CA1E 的 一 个 法 向 量,那 么 m·A1E→=0, m·A1C→=0, 即 -x0+ 2 2z0=0 , -x0+y0+ 2z0=0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令z0=2,得m=(2,- 2,2)。 又B1C1⊥平面A1B1BA,故B1C1→=(0, 1,0)是平面A1B1BA 的一个法向量。 设α为二面角C-A1E-A 所成的平面角, 则cos α= |m·B1C1→| |m|·|B1C1→| = 2 22 = 1 2 ,即二面 角C-A1E-A 的余弦值为 1 2 。 点评:本 题 第 二 问 中,由 已 知 条 件 可 知 B1B,B1A1,B1C1 三条直线两两垂直,故可 直接建立空间直角坐标系进行求解。这是立 体几何综合题中最容易想到的建系方法,只 要同学们基础知识扎实,计算能力过关,即可 实现问题的求解。 二、借助线面垂直建系 1.以垂线的垂足为坐标原点建系 图3 例 2 (山东省青岛 市2023届高三一模)如图 3,在 Rt△PAB 中,PA⊥ AB,且|PA|=4,|AB|= 2,将△PAB 绕直角边PA 旋转 2π 3 到△PAC 处,得到 圆锥的一部分,点D 是底面圆弧BC(不含端 点)上的一个动点。 (1)是否存在点D,使得BC⊥PD? 若存在, 求出∠CAD 的大小;若不存在,请说明理由。 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年9月 {#{QQABZQQAggCAABAAAQgCQQFQCkOQkBEACAoGwAAIoAAAwANABCA=}#} (2)当四棱锥 P-ABDC 体积最大时,求 平面PCD 与平面PBD 夹角的余弦值。 解析:(1)当 D 为圆弧BC 的中点,即 ∠CAD= π 3 时,BC⊥PD。 证明如下:因为D 为圆弧BC 的中点,所 以∠CAD=∠BAD= π 3 ,即 AD 为∠CAB 的平分线。因为|AC|=|AB|,所以AD 为 等腰△CAB 的高线,即AD⊥BC。 因为PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC= A,AB,AC⊂平面 ABDC,所以 PA⊥平面 ABDC,故PA⊥BC。 因为 PA∩AD=A,所以 BC⊥平 面 PAD,则BC⊥PD。 (2)由(1)得,PA 为四棱锥P-ABDC 的 高。因为|PA|=4,所以当面积S四边形ABDC 取 最大值时,四棱锥 P-ABDC 体积最大。设 ∠CAD=α,则∠BAD= 2π 3-α ,α∈ 0, 2π 3 。 S四边形ABDC=S△CAD+S△BAD= 1 2×2×2× sin α+ 1 2×2×2×sin 2π 3-α