03 一题四法证明“动”线与“定”线垂直-《中学生数理化》高二数学2023年9月刊

一题四法证明“动”线与“定”线垂直 ■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 空间中的垂直关系有:线线垂直、线面垂 直、面面垂直。垂直关系始终是立体几何考 查的重点,从近些年高考来看,以多面体为载 体,重点考查空间垂直的位置关系一直是立 体几何命题的热点。一般来讲,线线垂直是 主要的也是最基本的情况,在三者转化的过 程中穿针引线,无论是线面垂直还是面面垂 直,都源于线与线的垂直,这种转化为“低维” 垂直的思想方法,在解题时非常重要,尤其涉 及动直线与定直线的垂直问题,其思维聚焦 点更显特殊。下面,笔者通过一道高考真题 来展示线线垂直的证明策略。 图1 真题呈现(2021年全 国甲卷)如图1,已知直三 棱柱ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B为正方形,|AB| =|BC|=2,E,F 分别为 AC 和CC1 的中点,D 为 棱 A1B1 上 的 点,BF⊥ A1B1 。证明:BF⊥DE。 分析:通过已知条件, 确定三条互相垂直的直线,可建立合适的空 间直角坐标系,借助空间向量证明线线垂直; 由于本题涉及“动”直线与“定”直线的垂直关 系,解答的思维难度和灵活度较大。 证法1(补形法) 因为 BF ⊥A1B1,A1B1 ∥AB,所 以 BF⊥AB。 因为 AB⊥BB1,BF∩BB1=B,所以 AB⊥平面BCC1B1。 图2 |AB|=|BC|=2,构 造 正 方 体 ABCG- A1B1C1G1,如 图 2所 示, 过E 作AB 的平行线分别 与AG,BC 交于其中点M, N,连接A1M,B1N。 因为E,F 分别为AC 和CC1 的中点,所 以 N 是 BC 的 中 点,易 证 Rt△BCF ≅ Rt△B1BN,则∠CBF=∠BB1N。 又因为∠BB1N+∠B1NB=90°,所以 ∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N。 又因为BF⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1, 所以BF⊥平面A1MNB1。 又因为ED⊂平面A1MNB1,所以BF⊥ DE。 点评:要 证 线 线 垂 直,可 转 化 证 线 面 垂 直。因为本题 DE 为动直线,所以解题目标 要将直线 DE 放在一个平面内,通过证 BF 垂直此平面从而获得证明。 证法2(几何法) 图3 如图3,取BC 的中点 N,连接 EN,B1N,所以 EN∥AB,即EN∥A1B1, 则 EN∥DB1,即 四 边 形 ENB1D 为 平 面 四 边 形。 要 证 BF ⊥ DE,即 证 BF⊥平面ENB1D。 由证法1可得 BF⊥ B1N,BF ⊥ AB,所 以 BF⊥EN。 又因为EN∩B1N=N,所以BF⊥平面 ENB1D。 因为ED⊂平面ENB1D,所以BF⊥DE。 点评:此法的实质与证法1一样,依然构 造平面,先建立线面垂直,再推出线线垂直。 证法1与证法2都是将动直线DE 放在一个 平面内,通过证 BF 垂 直 此 平 面 从 而 获 证。 由于直线 DE 为动直线,构造三角形形成平 面行不通,所以构造一组对边平行的四边形 是解决问题的关键。 证法3(坐标法) 同证法1,易得BA,BC,BB1 两两垂直。 21 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年9月 {#{QQABZQQAggCAAAJAAAgCQQFgCECQkAEACIoGBBAIoAAAwBNABCA=}#} 则以B 为坐标原点,分别以BA,BC,BB1 所 在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系,如图4。则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0, 2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2), E(1,1,0),F(0,2,1)。 图4 由题意,设D(a,0,2)(0≤a≤2)。 因为BF→=(0,2,1),DE→=(1-a,1,- 2),所以BF→·DE→=0×(1-a)+2×1+1× (-2)=0,即BF⊥DE。 点评:由题意得出此几何题属于典型的 “墙角模型”,即建立空间直角坐标系,利用坐 标运算实现目标数量积为0,从而获得证明。 解答涉及“墙角模型”的立体几何试题,建立 坐标系是较简便的解法。 证法4(基底法) 因为 BF ⊥A1B1,A1B1 ∥AB,所 以 BF⊥AB,故BF→·A1B1→=0,BF→·AB→=0。 所以 BF→·ED→=BF→·(EB→+BB1→+ B1D→)=BF→·B1D→+BF→·(EB→+BB1→)= BF→·EB→+BF→·BB1→=BF→ -12BA →-12BC → + BF→·BB1→=- 1 2BF →·BA→-12BF →·BC→+ BF→·BB1→=- 1 2BF →·BC→+BF→·BB1→= - 1 2|BF →|·|BC→|cos∠FBC+ |BF→|