02 2023年高考之立体几何和空间向量考点解读-《中学生数理化》高二数学2023年9月刊

2023年高考之立体几何和空间向量考点解读 ■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 立体几何涉及两大问题:一是空间基本 图形的位置关系,主要包括线线、线面、面面 的平行与垂直等;二是度量问题,主要包括点 到线、点到面的距离,直线与直线、直线与平 面、平面与平面所成的角等。 空间向量是用代数的方法处理立体几何 问题的一种重要工具,用定量的计算代替定 性的分析,从而避免了一些烦琐的推理论证。 利用空间向量的工具性可以解决空间线面的 位置关系,空间角、距离及探索性等问题。 下面我们结合2023年高考真题,对立体 几何和空间向量的考点进行解读。 考点一 对空间几何体体积的考查 例 1 (1)(2023年高考全国乙卷理数 第8题)已知圆锥PO 的底面半径为 3,O 为 底面圆心,PA,PB 为圆锥的母线,∠AOB= 120°,若△PAB 的面积等于 93 4 ,则该圆锥的 体积为( )。 A.π B.6π C.3π D.36π (2)(2023年高考全国甲卷文数第10 题)在三棱锥P-ABC 中,△ABC 是边长为2 的等边三角形,|PA|=|PB|=2,|PC|= 6,则该棱锥的体积为( )。 A.1 B.3 C.2 D.3 (3)(2023年新课标全国Ⅰ卷第14题) 在正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|= 2,|A1B1|=1,AA1= 2,则该棱台的体积为 。 命题意图:本题考查圆锥、棱锥、棱台的 体积,同时考查了逻辑推理、直观想象及数学 运算等核心素养。 解题思路:(1)依题设条件,可利用三角形 面积公式先求得圆锥的母线长,再求圆锥的 高,根据圆锥的体积公式进行解答。 (2)依题 意可证得AB⊥平面PEC,故分割三棱锥为共 底面的两个小三棱锥,其高之和为|AB|,得 解。(3)结合图像,依次求得|A1O1|,|AO|, |A1M|,再利用棱台的体积公式可得解。 图1 解析:(1)在△AOB 中,∠AOB =120°。而 |OA|=|OB|= 3,取 AB 的中点C,连接OC, PC,则 OC⊥AB,PC⊥ AB,如图1所示。 ∠ABO=30°,|OC| = 3 2 ,|AB|=2|BC|=3。由△PAB 的面积 为 93 4 ,得1 2×3×|PC|= 93 4 ,解得|PC|= 33 2 。 于 是|PO|= |PC|2-|OC|2 = 33 2 2 - 3 2 2 = 6。所以圆锥的体积V = 1 3π×|OA| 2×|PO|= 1 3π× (3)2× 6= 6π。选B。 图2 (2)取 AB 的 中 点E,连接 PE,CE, 如图2所示。 因为△ABC 是边 长 为 2 的 等 边 三 角 形,|PA|=|PB|= 2,所 以 PE ⊥AB, CE⊥AB。 又PE,CE⊂平面PEC,PE∩CE=E, 所以AB⊥平面PEC。 又|PE|=|CE|=2× 3 2= 3 ,|PC|= 6,故|PC|2=|PE|2+|CE|2,即PE⊥CE。 所以 V=VB-PEC +VA-PEC = 1 3S△PEC · 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年9月 {#{QQABbQSAogioAABAAAhCQQUgCEOQkAEACIoGABAEsAAAwBNABCA=}#} |AB|= 1 3× 1 2× 3× 3×2=1 。选A。 图3 (3)如图3,过A1 作 A1M⊥AC,垂足为 M, 易知A1M 为四棱台AB- CD-A1B1C1D1 的高。 因 为|AB|=2, |A1B1|=1,|AA1|= 2,所以|A1O1|= 2 2|A1B1|= 2 2 ,|AO|= 2 2|AB|= 2 。 故|AM|=|AO|-|A1O1|= 2 2 ,则 |A1M|= |A1A|2-|AM|2 = 2- 1 2 = 6 2 。 所求体积V= 1 3× (4+1+ 4×1)× 6 2 = 76 6 。 考点解读:空间几何体的结构特征是立 体几何的基础,空间几何体的表面积和体积 是高考的高频考点,多以选填题的形式考查, 难度中等或偏上。求几何体体积的常用方法: 体 积 公式法 等积法 补体法 分割法 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补 成棱柱，三棱柱补成四棱柱等。 将几何体分割成易求解的几个部分， 分别求体积。 例如四面体的任何一个面都可以作为 底面，只需选用底面积和高都易求的形式 即可。 直接代入公式求解。 考点二 对空间直线与平面位置关系的 考查 图4 例 2 (2023年高考 全国乙卷文数第19题)如 图4,在三棱锥 P-ABC 中, AB⊥BC,|AB|=2,|BC| =22,|PB|=|PC|= 6, BP,AP,BC 的中点分别为