专题5-2 平面向量基本定理与坐标表示7大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题5-2 平面向量基本定理与坐标表示7大考点 知识点一 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点二 平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、已知，则向量，共线的充要条件是 知识点三 线段的定比分点及 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 一、平面向量基本定理的实质及解题思路 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 二、平面向量坐标运算的技巧 1、向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． 2、解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 三、平面向量共线定理应用技巧 1、两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则的充要条件是； ②若，则. 2、向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 考点一 基底的概念与判断 【例1】（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】（2023·上海·高三专题练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-2】（2023·四川宜宾·高三校考二模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）在下列向量组中，可以作为基底的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-4】（2023秋·山东聊城·高三校考期末）（多选）已知，是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点二 用已知基底表示向量 【例2】（2023·宁夏银川·高三校考模拟预测）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A．＋ B．＋ C． D．＋ 【变式2-1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·浙江金华·统考模拟预测）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·江苏南京·校考二模）已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（ ） A． B． C． D． 考点三 向量线性运算的坐标表示 【例3】（2023秋·江西上饶