22 一元二次函数，方程和不等式常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■欧阳亮 一元二次函数、方程和不等式是高中数 学的重要内容,也是高考的重要考点。下面 就一元二次函数、方程和不等式问题的常见 典型考题举例分析,供大家学习。 题型一:利用不等式的性质判断不等式 的真假 此类问题一般结合不等式的性质,利用 作差法或作商法求解,也可以利用特殊值法 求解。 例1 若a>b>0,m<0,则下列不等式 成立的是( )。 A.am2<bm2 B. m b-a>1 C. a-m b-m< a b D. a-m a2 > b-m b2 对于A,已知a>b>0,m< 0,可得m2>0,所以am2>bm2, A不正确。对于B,取a=3,b=2,m=- 1 2 , 可得 m b-a= - 1 2 2-3= 1 2<1 ,B不正确。对于 C,由a>b>0,m<0,可得a-m>0,b- m>0,由 a-m b-m - a b = (a-m)b-(b-m)a b(b-m) = m(a-b) b(b-m)<0 ,可得a-m b-m< a b ,C正确。对 于D,取a=2,b=1,m=-1,可得 a-m a2 = 2+1 4 = 3 4 ,b-m b2 = 1+1 1 =2 ,此时a-m a2 < b-m b2 ,D错误。应选C。 跟踪训练1:下列命题正确的是( )。 A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a<b C.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.若 a c2 < b c2 ,则a<b 提示:A 中,若a>b>0,c>d>0,则 ac>bd 成立,否则,如2>1,-1>-2,可得 -2>-2,显然错误,A 不正确。B 中,若 ac>bc,c<0,则a<b,否则,如a=-2,b= -3,c=2,则(-2)×2>(-3)×2,可得 -2>-3,即a>b,B不正确。C中,如3> 2,2>1,可得3-2>2-1,即1>1,显然错 误,C不正确。D中,由 a c2 < b c2 ,可知c≠0,则 c2>0,由不等式的性质知不等式两边同乘一 个正数c2,不等式不变号,即a<b,D正确。 应选D。 题型二:利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式,其实质 就是利用性质对不等式进行变形,变形要等 价,要善于寻找欲证不等式的等价条件,利用 不等式 的 性 质 时 要 注 意 性 质 适 用 的 前 提 条件。 例2 (1)已知a<b<0,求证: b a< a b 。 (2)已知a>b, 1 a< 1 b ,求证:ab>0。 证明:(1)由题意得 b a - a b = b2-a2 ab = (b+a)(b-a) ab 。因为a<b<0,所以b+a< 0,b-a>0,ab>0,所以 (b+a)(b-a) ab <0 。 故 b a< a b 。 (2)因为 1 a < 1 b ,所 以1 a - 1 b <0 ,即 b-a ab <0 。又因为a>b,所以b-a<0,所以 ab>0。 跟踪训练2:若a>b>0,c<d<0,e<0, 求证: e (a-c)2 > e (b-d)2 。 44 经典题突破方法 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQQEgggAABJAAQhCQQEQCkCQkBCAACoGwAAAsAAAgRFABCA=}#} 提示:因为c<d<0,所以-c>-d>0。 因为a>b>0,所以a-c>b-d>0。所以 (a -c)2 > (b -d)2 >0,两 边 同 乘 1 (a-c)2(b-d)2 ,可 得 1 (a-c)2 < 1 (b-d)2 。 又e<0,所以 e (a-c)2 > e (b-d)2 。 题型三:利用不等式的性质求代数式的 取值范围 根据不等式的性质求代数式的取值范 围,首先要明确同向不等式具有可加性及正 的同向不等式具有可乘性,但要注意不等式 不能相减,如求a-b 的范围,只能先求-b 的范围,再与a的范围相加。同理,不等式也 不能相除,如求a b 的范围,只能先求1 b 的范 围,再与a的范围相乘。当不等式两边同乘 一个数时,要明确所乘数的正负。 例3 设2<a<3,-4<b<-3,求a+ b,a-b, a b ,ab的取值范围。 因为2<a<3,-4<b< -3,所以3<-b<4,所以-2< a+b<0,5<a-b<7。因为- 1 3< 1 b< - 1 4 ,所以1 4<- 1 b< 1 3 ,所以1 2<- a b<1 , 可得-1< a b<- 1 2 。因为6<-ab<12,所 以-12<ab<-6。 综上可得,-2<a+b<0,5<a-b<7, -1< a b<- 1 2 ,-12<ab<-6。 跟踪训练3:已知30<x<42,16<y< 24,求x+y,x-3y 的取值范围。 提示: