21 集合与常用逻辑用语常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■姚 平 集合是高中数学的重要内容,也是高考 的必考内容,高考主要考查集合的概念与性 质,集合间的关系与运算,集合与其他知识的 综合应用。常用逻辑用语是重要的数学概 念,对于这部分内容,高考主要以填空题的形 式出现,考查四种命题的关系、命题的否定, 以及命题真假的判断等。 题型一:集合的基本概念 用描述法表示集合,首先要搞清楚集合 中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明 白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的 集合。集合中元素的互异性常常容易忽略, 特别是含有字母的集合,在求出字母的值后, 要注意检验集合中元素是否满足互异性。分 类讨论的思想方法常用于解决集合问题。 例1 选择适当的方法表示下列集合: ①大于1且小于8的有理数;②由 |a| a + b |b| (a,b∈R)所 确 定 的 实 数 集 合;③不 等 式 2x-3<5的解组成的集合。 解:①大于1且小于8的有理数有无数 个,用描述法表示为{x∈Q|1<x<8}。②根 据绝对值的意义化简求解,设x= |a| a + b |b| , 当a>0,b>0时,x=2;当a<0,b<0时, x=-2;当a,b 异号时,x=0。故用列举法 表示为{-2,0,2}。③不等式2x-3<5的解 组成的集合可用描述法表示为{x|2x-3< 5},即{x|x<4}。 跟踪训练1:用描述法表示下列集合: ①被3除余1的正整数的集合;②坐标平面 内第一象限的点的集合;③大于4的所有偶 数。 提示:①被3除余1的正整数的集合可 表示为{x|x=3n+1,n∈N}。②由于第一 象限内的点的横、纵坐标均大于零,故此集合 可表示为{(x,y)|x>0,y>0}。③偶数可表 示为2n,n∈Z,又大于4,则n≥3,用描述法 表示此集合为{x|x=2n,n∈Z且n≥3}。 题型二:集合之间的基本关系 空集是任何集合的子集,在涉及集合关 系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成 漏解。已知两个集合间的关系求参数时,关 键是将条件转化为元素或区间端点间的关 系,进而转化为参数所满足的关系。常用数 轴、Venn图来直观解决这类问题。 例2 设集合 A={0,1,2},B={m| m=x+y,x∈A,y∈A},则集合A 与B 的 关系为( )。 A.A∈B B.A=B C.B⊆A D.A⊆B 解:因为集合A={0,1,2},B={m|m= x+y,x∈A,y∈A}={0,1,2,3,4},所以 A⊆B。应选D。 跟踪训练2:已知集合A={-1,3,2m- 1},B={3,m2}。若B⊆A,则实数 m 等于 ( )。 A.±1 B.-1 C.1 D.0 提示:已知集合A={-1,3,2m-1},集 合B={3,m2}。 若B⊆A,则 m2∈A,且 m2≠3。因为 m2≥0,所以m2=-1无解,所以m2=2m- 1,解得m=1,经检验符合元素的互异性。应 选C。 题型三:集合的运算 集合是由元素组成的,从研究集合中元 素的构成入手是解决集合运算问题的前提。 有些集合是可以化简的,先化简再研究其关 系并进行运算,可使问题简单明了,易于解 决。注意数形结合思想的应用,可用数轴、坐 标系或Venn图帮助求解。 例3 已知集合 M= x x+3 x-1<0 ,集 合N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}= ( )。 A.M∩N B.M∪N C.∁R(M∩N) D.∁R(M∪N) 04 经典题突破方法 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQSEogAoABBAAQgCQQVQCkOQkBCAACoGxAAMoAAAgRFABCA=}#} 解:由x+3 x-1<0 ,解得-3<x<1,所以 M∪N=(-∞,1)。应选D。 跟踪训练3:已知全集U={-1,0,1,2, 3,4},集合A={x|x≤1,x∈N},B={1,3}, 则∁U(A∪B)=( )。 A.{4} B.{2,4} C.{-1,2,4} D.{-1,0,2,4} 提示:因为A={x|x≤1,x∈N}={0, 1},B={1,3},所以 A∪B={0,1,3},所以 ∁U A∪B ={-1,2,4}。应选C。 题型四:利用集合的运算求参数 根据集合运算求参数,先把符号语言译 成文字语言,然后应用数形结合法求解。涉 及子集问题,要分该集合是空集、不是空集两 种情况求解。 例4 已知集合A={x|3x2-2x-1≤ 0},B={x|2a<x<a+3},若A∩B=⌀,则 实数a的取值范围是( )。 A.-∞,- 10 3 ∪ 12,+∞ B.-∞,- 10 3 ∪ 12,+∞ C.-∞,- 1 6 ∪ 2,+∞ D.-∞,- 1 6 ∪ 2,+∞ 解:集合 A={x