20 聚焦不等式的热点问题-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■赵邦一 李丽娜 不等式的应用非常广泛,它可以与许多 知识交汇,来考查一些热点问题。下面就不 等式的热点问题进行举例分析。 一、比较数(式)的大小 例1 若x<y<0,试比较(x2+y2)(x -y)与(x2-y2)(x+y)的大小。 分析:把(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x +y)做差比较即可。 解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+ y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]= -2xy(x-y)。因为x<y<0,所以xy>0, x-y<0,所以-2xy(x-y)>0,所以(x2+ y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)。 提醒:比较大小的关键是变形,一般来 说,变形越彻底,越有利于下一步的判断。 二、一元二次不等式(组)的解法 例 2 关 于 x 的 不 等 式 组 x2-x-2>0, 2x2+(2k+5)x+5k<0 的整数解的集合为 {-2},求实数k的取值范围。 分析:解答本题容易出错的是:直接把 x=-2代入不等式2x2+(2k+5)x+5k<0 求出k的取值范围。 解:由x2-x-2>0,可得x<-1或 x>2。由2x2+(2k+5)x+5k<0,可得 (x+k)(2x+5)<0。因为-2为其解,所以 (2+k)(4+5)<0,解得k<2,即-k>-2, 所以此时不等式的解为- 5 2<x<-k 。 因为其解集中只有一个整数-2,所以 -2<-k≤-1,所以1≤k<2。 提醒:一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx +c的图像与x 轴交点的横坐标。二次函数 y=ax2+bx+c的图像在x 轴上方的部分, 是由不等式ax2+bx+c>0的x 值构成的, 图像在x 轴下方的部分,是由不等式ax2+ bx+c<0的x 值构成的,三者之间相互依 存、相互转化。 三、含参数不等式的解法 例3 解关于x 的不等式ax2-2(a+ 1)x+4>0。 分析:最高项的系数含有字母a,不等式 可以是二次不等式,也可以是一次不等式,且 影响两根的大小。 解:当a=0时,原不等式可化为x-2< 0,可得解集为{x|x<2}。 当a<0时,原不等式可化为(x-2)· x- 2 a <0,且 2> 2a,可 得 解 集 为 x 2 a<x<2 。 当a>0时,原不等式可化为(x-2)· x- 2 a >0,①当0<a<1时,2<2a,可得 解集为 x x> 2 a 或x<2 ;②当a=1时, 2= 2 a ,可得解集为{x|x≠2且x∈R};③当 a>1时,2> 2 a ,可得解集为 x x>2或x< 2 a 。 综上所述,原不等式的解集为:当a=0 时,{x|x<2};当a=1时,{x|x∈R且x≠ 2};当a<0时,x 2 a<x<2 ;当0<a<1 时,xx> 2 a 或x<2 ;当a>1时,xx>2 或x< 2 a 。 提醒:解含参数不等式时,容易出现的错 误是漏掉某一种情况。 四、利用基本不等式求分式函数的最值 例4 求函数y= ax2+x+1 x+1 (x>-1 83 创新题追根溯源 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQSAgggIAAAAAAhCQQEgCkOQkBAACKoGhBAAsAAAQRFABCA=}#} 且a>0)的最小值。 分析:求分式函数的最值时,可把解析式 分拆成mg(x)+ A g(x) +B 的形式,再利用基 本不等式求最值。 解:y= ax2+x+1 x+1 =ax+ 1-ax+x x+1 = ax+(1-a)+ a x+1=a (x+1)+ a x+1+1- 2a≥2a+1-2a=1,当且仅当a(x+1)= a x+1 ,即x=0时等号成立,所以函数y= ax2+x+1 x+1 的最小值为1。 提醒:分式函数y=f(x)可表示为y= mg(x)+ A g(x) +B 的形式,且g(x)在定义 域内恒正或恒负,A>0,m>0,则可利用基本 不等式求最值。 五、结合条件求代数式的最值 例5 已知a>0,b>0,且 1 a+ 9 b=1 ,求 a+b的最小值。 分析:由1 a+ 9 b=1 ,可得(a-1)(b-9) =9,所以a>1,b>9,再将a+b变形即可求 出最值。 解:(方法1)a+b=(a-1)+(b-9)+ 10≥2 (a-1)(b-9)+10=2 9+10=16 (当且仅当a=4,b=12时等号成立),所以 a+b的最小值为16。 (方法2)a+b=(a+b)· 1a+ 9 b = 1+9+ b a + 9a b ≥10+2 9=16 (当且仅当 a=4,b=12时等号成立),所以a+