19 集合中的创新问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■邓建兵 以集合为背景的创新问题,常常以“问 题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目 的,以集合为依托,考查同学们理解问题、解 决创新问题的能力。常见的命题形式有新概 念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是 基本的依托。 聚焦1:集合中的“新定义”问题 例1 设集合A={-1,0,2},集合B= {-x|x∈A 且2-x∉A},则B=( )。 A.{1} B.{-2} C.{-1,-2} D.{-1,0} 解:抓住新定义集合B={-x|x∈A 且 2-x∉A}的代表元素的属性求解。若x= -1,则2-x=3∉A,此时-x=1满足其属 性;若x=0,则2-x=2∈A,此时不符合要 求;若x=2,则2-x=0∈A,此时不符合要 求。故集合B={1}。应选A。 反思:集合中的新定义问题,要抓住代表 元素的属性进行验证,注意集合中元素的确 定性与互异性的应用。 例2 设A 是整数集的一个非空子集,对 于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称 k是A 的一个“孤立元”。给定集合S={1,2, 3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集 合中,不含“孤立元”的集合共有 个。 解:依据 A 的一个“孤立元”的定义求 解。对于k∈A,k-1∉A,且k+1∉A,由给 定集合S 的3个元素构成的所有集合中不含 “孤立元”,这三个元素一定是连续的三个自 然数。故这样的集合为{1,2,3},{2,3,4}, {3,4,5},{4,5,6}{5,6,7},{6,7,8},即不含 “孤立元”的集合共有6个。 反思:理解新定义的最好办法就是特殊 化处理和列举法尝试。如题中S={6,7,8} 不含孤立元,S={2,3,5}含孤立元5,三个元 素构成的集合不含“孤立元”,这三个元素一 定是连续的三个自然数。 聚焦2:集合中的“新运算”问题 例3 对于集合A,定义一种运算“⊕”, 使得集合A 中的元素间满足条件:如果存在 元素e∈A,使得对任意a∈A,都有e⊕a= a⊕e=a,则称元素e是集合A 对运算“⊕” 的单位元素。如 A=R,运算“⊕”为普通乘 法,存在1∈R,使得对任意a∈R,都有1× a=a×1=a,所以元素1是集合R对普通乘 法的单位元素。下面给出两个集合及相应的 运算“⊕”: (1)A=R,运算“⊕”为普通减法。 (2)A={x|x⊆M}(其中 M 是任意非空 集合),运算“⊕”为求两个集合的交集。 其中对运算“⊕”有单位元素的集合为 。 解:依据给定的运算,验证单位元素的运 算满足交换律或举反例说明不成立。 (1)若A=R,运算“⊕”为普通减法,而 普通减法不满足交换律,故没有单位元素。 (2)A= x|x⊆M (其中 M 是任意非空 集合),运算“⊕”为两个集合的交集,故单位 元素为集合 M。 反思:集合中的新运算问题,按照运算法 则逐一进行验证,不成立举出反例,成立说明 原因。本题实质就是验证单位元素是否存在 且满足交换律的问题。 例4 对于集合 M,定义函数fM(x)= -1,x∈M, 1,x∉M, 对于两个集合 A,B,定义集合 运算AΔB={x|fA(x)·fB(x)=-1},已 知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则 用列举法写出集合AΔB 的结果为 。 解:结合题设中集合元素的运算和分段 函数fM(x)= -1,x∈M, 1,x∉M 的意义求解。要 使fA(x)·fB(x)=-1,必有x∈{x|x∈A 且x∉B}∪{x|x∈B 且x∉A}={6,10}∪ 63 创新题追根溯源 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQSEogCgABAAAAhCQQFQCkOQkACACCoGgBAEoAAAAQFABCA=}#} {1,12}={1,6,10,12},所以 AΔB={1,6, 10,12}。 反思:本题实质为特殊函数自变量的集 合, 由 定 义 函 数 fM (x ) = -1,x∈M, 1,x∉M, fA(x)·fB(x)=-1,可转化 为两个特殊集合的并集运算求解。 聚焦3:创新集合问题 例5 设S 是实数集 R的非空子集,如 果∀a,b∈S,都有a+b∈S,a-b∈S,则称 S 是一个“和谐集”。下面命题中的假命题是 ( )。 A.存在有限集S,S 是一个“和谐集” B.对任意无理数a,集合{x|x=ka,k∈ Z}都是“和谐集” C.若S1≠S2,且S1,S2 均是“和谐集”, 则S1∩S2≠⌀ D.对任意两个“和谐集”S1,S2,若S1≠ R,S2≠R,则S1∪S2=R 解:依据“和谐集”的性质对选项逐一验 证。对于A,如S={0},显然该集合满足0+ 0=0∈S,0-0=0∈S,A正确。对于B,设 任意x