17 集合的概念及运算中的易错点剖析&18 例析不等式问题的六个易错点-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■何 敏 集合的概念与运算比较抽象,同学们初 学很容易犯错。下面对集合中的易错点进行 剖析,希望对同学们的学习有所帮助。 易错点1:忽视集合元素的互异性与题 设条件 例1 若集合A={-4,2a-1,a2},B= {9,a-5,1-a},A∩B={9},则a 的值是 ( )。 A.-3,3,5 B.-3,5 C.3,5 D.-3 错解:由A∩B={9},可得2a-1=9或 a2=9,即a=±3或a=5。应选A。 剖析:上述解法忽视了集合元素的互异 性和已知条件。 正解:由题意得a=±3或a=5。当a= 3时,A={-4,5,9},B={9,-2,-2},与集 合中元素的互异性矛盾;当a=5时,A∩B= {9,-4},与已知条件矛盾。所以a=-3,应 选D。 提醒:解决含参数的集合问题时,不能忽 视元素的互异性与题设条件,以免出现增解。 易错点2:集合关系中忽略空集的讨论 例2 已知集合 A={x|x2-3x+2= 0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B, 求实数m 的取值范围。 错解:由题意得A={1,2}。由A∩B= B,可得B⊆A,所以1,2是方程x2-mx+ 2=0的根,所以m=3。 剖析:上述解法认为集合B={x|x2- mx+2=0}中有两个元素,忽略了B 为空集 和两等根的情况。 正解:由B⊆A,可对集合B 进行分类讨 论,即B=⌀,B={1}或B={2},B={1,2}。 当B=⌀时,由 Δ=m2-8<0,可得 -22<m<22;当B={1}或B={2}时, 可得 Δ=0, 1-m+2=0或4-2m+2=0, 此时 m 无解;当 B={1,2}时,由 1+2=m, 1×2=2, Δ>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可 得 m=3。 综上所述,m=3或-22<m<22。 提醒:解决有关A∩B=⌀,A∪B=⌀, A⊆B 等问题时,容易忽视空集的情况而出 现漏解,这就需要注意特殊情况下的探究。 易错点3:忽视集合转化的等价性 例3 已知集合A={x|ax2+2x+1= 0}为一元集,求a的值。 错解:集合 A 为一元集,即方程ax2+ 2x+1=0有两个等根,由Δ=4-4a=0,可 得a=1。 剖析:上述解法认为所给方程为一元二 次方程,忽视了对二次项系数的讨论。 正解:当a≠0时,由Δ=4-4a=0,可得 a=1;当a=0时,可得 A= - 1 2 ,符合题 意。故a=1或a=0。 提醒:在进行集合转化时,要注意转化的 等价性,否则就会产生增解或漏解。 易错点4:忽视补集思想的应用 例4 设集合 P= x ax+2>a ,3∉ P,那么实数a的取值范围是 。 错解:初看本题,往往会感觉无从下手, 不知道从其反面逆向思维,导致无法解决。 剖析:从反面入手,利用元素和集合之间 的关系切入,构建不等式求解。 正解:由 P={x|ax+2>a},可 得 ∁RP={x|ax+2≤a}。因为3∉P,所以3∈ ∁RP,所以3a+2≤a,所以a≤-1。故实数 a的取值范围是(-∞,-1]。 提醒:这种在正向思维受阻后改用逆向 思维的思想,就是数学上的补集思想。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 33 易错题归类剖析 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQSAggiAAABAAQgCQQUgCkOQkAAAAKoGwAAIsAAAwQFABCA=}#} ■石汉荣 易错点1:忽视字母的取值范围致错 例1 (多选题)对于任意实数a,b,c,d, 下列四个命题中的真命题是( )。 A.若a>b,c≠0,则ac>bc B.若a>b,则ac2>bc2 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 错解:对于 A,若a>b,当c<0时,则 ac<bc,A错误。对于B,若a>b,则ac2> bc2,B正确。对于C,若ac2>bc2,则c2>0, 所以a>b,C正确。对于D,若a>b>0,c> d>0,则ac>bc>bd,D正确。应选BCD。 错因:对于B,忽视了c=0的情况。 正解:对于 A,若a>b,当c<0时,则 ac<bc,A 错误。对于B,若a>b,当c=0 时,ac2=bc2,B错误。对于C,若ac2>bc2, 则c2>0,所以a>b,C正确。对于D,若a> b>0,c>d>0,则ac>bc>bd,D正确。应 选CD。 易错点2:多次运用不等式性质致错 例2 已知-1<2a+b<2,3<a-b< 4,求5a+b的取值范围。 错解:由-1<2a+b<2,3<a-b<4, 两式相加得2<3a<6,所以 10 3<5a<10 。由 3<a-b<4,可得-8<-2a+2b<-6,与 -1<2a+b<2相