14 基本不等式——求最值的好方法-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■谭 尧 基本不等式是高中数学的重要内容,也 是高考的常考点,利用基本不等式求最值问 题的常用方法有:正用a+b≥2 ab,逆用 ab≤ a+b2 2 ,整体代换法,凑系数法,凑项 法,分离常数法,平方法等。下面举例分析。 一、正用a+b≥2 ab 例1 对任意的 m,n∈(0,+∞),都有 m2-amn+2n2≥0恒成立,则实数a 的最大 值为( )。 A.2 B.22 C.4 D. 9 2 因为对任意的 m,n∈(0, +∞),都有 m2-amn+2n2≥0 恒成立,所以m2+2n2≥amn 恒成立,即a≤ m2+2n2 mn = m n+ 2n m 恒成立。 因为 m n+ 2n m ≥2 m n ·2n m =2 2 ,当且 仅当 m n= 2n m ,即m= 2n时取等号,所以a≤ 22。故实数a的最大值为22。应选B。 评注:正用基本不等式求最值时,要求两 个正数的和的最小值,必须这两个正数的积 为定值。 二、逆用ab≤ a+b2 2 例2 若正实数x,y 满足x+y=2,且 1 xy ≥M 恒成立,则 M 的最大值为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 因为正实数x,y 满足x+ y=2,所 以 xy≤ (x+y)2 4 = 22 4=1 ,当且仅当x=y=1时等号成立,所以 1 xy ≥1。 又因为 1 xy ≥M 恒成立,所以 M≤1,即 M 的最大值为1。应选A。 评注:逆用基本不等式求最值时,必须要 求这两个正数的和为定值。 三、整体代换法 例3 已知a>0,b>0,且4a+b=4,则 1+ 1 a 1+1b 的最小值为 。 由4a+b=4,可得a+ b 4= 1。因 为 1+ 1 a 1+1b = 1+a+ b 4 a 1+ a+ b 4 b = 2+b4a 54+ab = 52 +2ab + 5b 16a+ 1 4= 11 4+ 2a b+ 5b 16a≥ 11 4+2 5 8= 11 4+ 10 2 ,当且仅当2a b= 5b 16a ,即42a=5b时取等 号,所 以 1+ 1 a 1+1b 的 最 小 值 为114 + 10 2 。 评注:求解含有两个变量的代数式的最 值问题时,通常采用“整体代换法”或“常数 1”的代换法,然后构造不等式求最值。 四、凑系数法 例4 设0<x< 9 10 ,则函数y=x(9- 10x)的最大值为 。 由0<x< 9 10 ,可 得 9- 10x>0。因 为 y=x(9-10x)= 1 10 · 10x(9-10x)≤ 1 10 · 10x+9-10x 2 2 = 42 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQSEogAoAAIAAAgCQQVgCECQkACAAKoGABAMoAAAgQFABCA=}#} 81 400 ,当且仅当10x=9-10x,即x= 9 20∈ 0, 9 10 时等号成立,所以函数 y=x(9- 10x)的最大值为 81 400 。 评注:本题无法直接运用基本不等式求 最值,但凑系数后可得到和为定值,从而可利 用基本不等式求出最大值。 五、凑项法 例5 已知x+ m x-2 (x>2)的最小值为 8,则正数m 的值为 。 因为x>2,即x-2>0,又 m>0,所以x+ m x-2=x-2+ m x-2+2≥2 (x-2)· m x-2+2=2 m + 2,当且仅当x=2+ m 时取等号。 又因为x+ m x-2 (x>2)的最小值为8, 所以2 m+2=8,解得m=9。 评注:x+ m x-2 是和的形式,但乘积不是 定值,必须凑项变为x-2+ m x-2+2 的形 式,再求最值。 六、分离法 例6 -x2 x+1 (x<-1)的最小值为 。 -x2 x+1 = -x2-1+1 x+1 = - x-1+ 1 x+1 = - x+1+ 1x+1-2 = -(x+1)+ 1 -(x+1)+2 。 因为x<-1,所以x+1<0,即-(x+ 1)>0,所以 -x2 x+1=- (x+1)+ 1 -(x+1)+ 2≥21+2=4,当 且 仅 当 - (x+1)= 1 -(x+1) ,即x=-2时等号成立。故 -x2 x+1 (x<-1)的最小值为4。 评注:将-x 2 x+1 分离为-(x+1)+ 1 (x+1) +2,再利用基本不等式求最值。 七、平方法 例 7 2x-1 + 5-2x 12<x< 5 2 的最大值为( )。 A.22 B.8 C.4 D. 5 2 令y= 2x-1+ 5-2x 1 2<x< 5 2 。 注意到2x-1与5-2x 的和为定值, 所 以 ( 2x-1 + 5-2x )2 =