13 含参数不等式问题的处理策略-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■杨家旺 杨子敬 解含参数不等式问题,常常涉及对参数 的分类讨论,这是解含参数不等式问题的一 个难点。下面就含参数不等式问题的处理策 略进行分析。 题型一:能因式分解的一元二次不等式 例1 解下列不等式。 (1)x2-ax-12a2<0(a<0)。 (2)(a-x)x- 1 a >0(0<a<1)。 (1)由 x2-ax-12a2<0 (a<0),可得(x-4a)(x+3a) <0。由4a<0<-3a,解得4a<x<-3a, 所以不等式x2-ax-12a2<0(a<0)的解集 为{x|4a<x<-3a}。 (2)由(a-x)x- 1 a >0(0<a<1),可 得(x-a)x- 1 a <0。由a<1<1a,解得 a<x< 1 a ,所以不等式(a-x)x- 1 a >0 (0<a<1)的解集为 xa<x< 1 a 。 感悟:一元二次不等式能因式分解时,可 借助两根的大小关系,结合二次函数图像, “以形助数”求出对应的解集。 题型二:二次项含参数且能因式分解的 一元二次不等式 例2 已知关于x 的不等式ax2+3x+ 2>0(a∈R)。 (1)若ax2+3x+2>0的解集为{x|b< x<1},求实数a,b的值。 (2)求关于x 的不等式ax2-3x+2> ax-1的解集。 (1)因为ax2+3x+2>0的 解集为{x|b<x<1},所以方程 ax2+3x+2=0的两个根为b,1(b<1)。 由根与系数的关系得 b+1=- 3 a , b·1= 2 a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-5,b=- 2 5 。 (2)由ax2-3x+2>ax-1,可得ax2- (a+3)x+3>0,即(ax-3)(x-1)>0。 当a=0时,不等式为x-1<0,可得解 集为{x|x<1}。 当a<0时,不等式为 x- 3 a (x-1)< 0,可得解集为 x 3 a<x<1 。 当a>0时,方程ax2-3x+2=ax-1 的两根分别为 3 a ,1。当a=3时,两根相等, 可得解集为{x|x≠1};当a>3时, 3 a<1 ,可 得解集为 x x< 3 a 或x>1 ;当0<a<3 时,3 a>1 ,可得解集为 x x<1或x> 3 a 。 综上可得,当a<0时,不等式的解集为 x 3 a<x<1 ;当a=0时,不等式的解集为 x x<1 ;当0<a<3时,不等式的解集为 x x<1或x> 3 a ;当a=3时,不等式的解 集为{x|x≠1};当a>3时,不等式的解集为 x x< 3 a 或x>1 。 感悟:解二次项含参数且能因式分解的 一元二次不等式,可对参数进行分类讨论,借 助对应的二次函数图像,“以形助数”求出对 应的解集。 题型三:二次项含参数且不能因式分解 的一元二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2+2x+1<0。 二次项含参数且不能分解, 因式需进行分类求解。 (1)当a=0时,不等式为2x+1<0,解 得x<- 1 2 ,可得解集为 -∞,- 1 2 。 22 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQSAgggIABJAAQhCQQEQCECQkAAACCoGQAAAsAAAQQFABCA=}#} (2)当a>0时,Δ=4-4a,函数f(x)= ax2+2x+1图像的开口向上。 ①当0<a<1时,由 Δ=4-4a>0, f(x)=ax2+2x+1=0的两根为 x1,2= -1± 1-a a , 且 -1- 1-a a < -1+ 1-a a ,可得不等式f(x)<0的解集 为 -1- 1-a a ,-1+ 1-a a ;②当a≥1 时,由Δ≤0,可得不等式f(x)<0的解集为 ⌀。 (3)当a<0时,由Δ=4-4a>0,f(x) =0 的 两 根 为 x1,2 = -1± 1-a a ,且 -1+ 1-a a < -1- 1-a a ,函数f(x)= ax2+2x+1图像的开口向下,可得解集为 -∞, -1+ 1-a a ∪ -1- 1-aa ,+∞ 。 综上可知,当a<0时,不等式的解集为 -∞, -1+ 1-a a ∪ -1- 1-aa ,+∞ ; 当a=0时,不等式的解集为 -∞,- 1 2 ;当 0 < a < 1 时,不 等 式 的 解 集 为 -1- 1-a a ,-1+ 1-a a ;当a≥1时, 不等式的解集为⌀。 感悟:解二次项含参数且不能因式分解的 二次不等式,可对参数进行分类讨论,借助对 应的二次函数,“以形助数”求出对应的解集。 题型四:含参数的根式不等式的求解问 题 例4 不等式 a2-x2<2x+a(a>0) 的解集是( )。 A.{x|0≤x<a} B.{x|0<x