12 充分条件、必要条件判断的五个途径-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■顾 艳 充分条件、必要条件的判断与应用贯穿 于高中数学的始终,是高中数学中最基本的 内容之一。下面结合实例,就充分条件、必要 条件的常见判断技巧与方法加以剖析,意在 “抛砖引玉”。 一、特值法 特值法判断充分、必要条件时,直接通过 特殊值的选取,代入分析与判断。特值法的 关键是起到筛选作用,利用特殊值来确定不 成立问题,由此判断命题之间的推不出关系。 例1 设a,b是实数,则“a>b”是“a2> b2”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:直接选取特殊值判断,进而确定命 题成立的条件。 解:当a>b时,如a=0,b=-1,a2>b2 不成立;反之,当a2>b2 时,如a=-1,b=0, a>b不成立。所以“a>b”是“a2>b2”的既 不充分也不必要条件。应选D。 由于特值法判断充分、必 要条件的片面性和局限性,经 常用于判断命题不成立时的情况,而命题成 立时就不能用特值法了。 二、定义法 定义法判断充分、必要条件时,直接判断 “若p,则q”和“若q,则p”的真假情况即可。 定义法的关键是看由条件推出结论,还是由 结论推出条件,还是互相推出。 例2 (多选题)下列结论中正确的是 ( )。 A.“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件 B.在△ABC 中,“AB2+AC2=BC2”是 “△ABC 为直角三角形”的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不 全为0”的充要条件 D.“x 为无理数”是“x2 为无理数”的必 要不充分条件 分析:通过不等式的求解、三角形的形状 的判断、代数关系式的值,以及数的性质特征 等,结合充分、必要条件的定义,进而确定结 论的正确性。 解:A中,x<-2⇒x2>4,但x2>4⇔ x>2或x<-2,不一定只有x<-2,A正 确。B中,AB2+AC2=BC2⇒△ABC 为直 角三角形,反之,若△ABC 为直角三角形,当 B 或C 为直角时,不能推出 AB2+AC2= BC2,B错误。C中,a2+b2≠0⇒a,b不全为 0,反之,由a,b 不全为0⇒a2+b2≠0,C正 确。D中,当x2 为无理数时,x 为无理数,反 之不成立,D正确。应选ACD。 定义法判断充分、必要条 件的本质就是判断两个命题 之间的推出关系。 三、集合法 集合法判断充分、必要条件,就是利用命 题中对应集合的包含关系来分析与求解的。 集合法的本质是回归命题的集合本源,借助 所对应的集合加以转化求解。 例3 设U 为全集,A,B 是集合,则“存 在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B= ⌀”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:利用集合法的思维切入,结合集合 性质进行正向推理判断,再利用集合中的 Venn图,进行逆向推理判断。 解:若存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC, 02 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQSAggiAABIAAAgCQQUQCECQkBAAACoGBBAIsAAAwRFABCA=}#} 则可以推出A∩B=⌀。 若A∩B=⌀,由 Venn图(如图1)可 知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC。 图1 所以“存在集合C 使得A⊆C,B⊆∁UC” 是“A∩B=⌀”的充要条件。应选C。 集合A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件q},若 A⊆B,则p 是q的充分条件;若A⊇B,则p 是q的必要条件;若A=B,则p 是q的充要 条件;若 A⫋B,则p 是q 的充分不必要条 件;若A⫌B,则p 是q的必要不充分条件。 四、等价法 等价法判断充分、必要条件,就是利用原 命题与其对应的逆否命题的等价关系来分析 与求解的。 例4 给定两个条件p,q,若􀱑p 是q的 必要不充分条件,则p 是􀱑q的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:利用“􀱑p 是q 的必要不充分条 件”无法直接判断,通过对逆否命题的判断, 结合等价关系可使问题迎刃而解。 解:因为􀱑p 是q的必要不充分条件,所 以q⇒􀱑p,但􀱑p⇒/q。其逆否命题为p⇒ 􀱑q,但􀱑q⇒/p。所以p 是􀱑q的充分不必要 条件。应选A。 等价法判断充分、必要条 件的本质就是建立原命题与其 逆否命题之间的关系,即从逆向思维进行分析 与判断。p是q的充分不必要条件(必要不充 分条件、充要条件),等价于􀱑q是􀱑p 的充分 不必要条件(必要不充分条件、充要条件)。 五、传递法 传递法判断充分、必要条件,就是利用充 分、必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒… ⇒pn,可得p