11 基本不等式求最值的题型及解题策略-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■喻 芳 利 用 不 等 式 求 最 值 的 实 质 是 ab≤ a+b 2 ≤ a2+b2 2 (a,b>0),ab≤ a+b2 2 ≤ a2+b2 2 (a,b∈R)的灵活应用。 题型一:简单的和或积为定值求最值 例1 (1)已知x,y,z 都是正实数,若 xyz=1,则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值 为( )。 A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已 知 0<x<1,则 函 数 f(x)= x3(1-x3)的最大值为 。 (1)由x>0,y>0,z>0,可 知x+y≥2 xy>0(当且仅当 x=y 时等号成立),y+z≥2 yz>0(当且 仅当y=z 时等号成立),x+z≥2 xz>0 (当且仅当x=z 时等号成立)。以上三个不 等式两边同时相乘得(x+y)(y+z)(z+x) ≥8 x2y2z2=8(当且仅当x=y=z=1时 等号成立)。应选D。 (2)由基本不等式得f(x)=x3(1-x3) ≤ x 3+1-x3 2 2 = 1 4 ,当且仅当x3=1-x3, 即x= 31 2 时等号成立。 故所求的最大值为 1 4 。 感悟:基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈ R),a+b≥2 ab(a,b∈R+),当一端为定值 时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等 式适应的范围和取等号的条件。 题型二:配凑法构造和或积为定值求最值 例2 (1)已知x< 5 4 ,求y=4x-2+ 1 4x-5 的最大值。 (2)若x≥ 7 2 ,则f(x)= x2-6x+10 x-3 有 ( )。 A.最大值 5 2 B. 最小值 5 2 C.最大值2 D.最小值2 (1)由 x< 5 4 ,可 得 5- 4x>0,所以y=4x-2+ 1 4x-5=4x-5+ 1 4x-5+3= - 5-4x+ 1 5-4x +3≤ -2 (5-4x)× 1 5-4x+3=1 ,当 且 仅 当 5-4x= 1 5-4x ,即x=1时等号成立,所以y 的最大值为1。 (2)由x≥ 7 2 ,可得x-3>0,所以f(x) = x2-6x+10 x-3 = (x-3)2+1 x-3 = (x-3)+ 1 x-3≥2 (x-3)× 1 x-3=2 ,当 且 仅 当 x-3= 1 x-3 ,即 x=4时等号成立,所以 f(x)有最小值2。应选D。 感悟:形如y= ax2+bx+c kx+m 的分式函数 求最值,可化为y=mg(x)+ A g(x) +B(A> 0,B>0),这里g(x)恒正或恒负,然后运用 基本不等式求最值。 题型三:常数代换法求最值 例3 已知p,q为正实数,且p+q=3, 81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQQAogCoABAAAAhCQQFQCEOQkBAAACoGABAEoAAAwRFABCA=}#} 则 1 p+2 + 1 q+1 的最小值为( )。 A. 2 3 B. 5 3 C. 7 4 D. 9 5 由p,q 为正实数,p+q= 3,可知p+2+q+1=6。 所以 1 p+2 + 1 q+1 = 1 p+2+ 1 q+1 · p+2 6 + q+1 6 = 13 + 16 p+2q+1+q+1p+2 ≥ 1 3+ 1 6×2 p+2 q+1 ·q+1 p+2 = 2 3 ,当且仅当 p+2=q+1,即 p=1, q=2 时“=”成 立。应 选A。 感悟:常数代换法适用于求解条件最值 问题。 题型四:消元法求最值 例4 若正实数x,y,z满足x2+4y2= z+3xy,则当 xy z 取最大值时,1 x+ 1 2y - 1 z 的 最大值为 。 正实数 x,y,z 满足x2+ 4y2=z+3xy,则z=x2-3xy + 4y2,所 以 xy z = xy x2-3xy+4y2 = 1 x y+ 4y x -3 ≤ 1 2 x y ·4y x -3 =1,当且仅当 x=2y 时等号成立,所以 xy z max=1,此时 x=2y,所以z=x2-3xy+4y2=2y2。所以 1 x+ 1 2y - 1 z= 1 2y + 1 2y - 1 2y2 =- 1 2 1 y-1 2 + 1 2≤ 1 2 ,所以1 x+ 1 2y - 1 z 的最大值为 1 2 。 感悟:解决多元最值的方法是消元后利 用基本不等式求解,但要注意所保留变量的 取值范围。 题型五:换元法求最值 例5 若正数a,b 满足2a+b=1,则 a 2-2a+ b 2-b 的最小值是 。 设u=2-2a,v=2-b,则 a= 2-u 2 ,b=2-v,所以u+ v=3(u>0,v>0)。 所以 a 2-2a+ b 2-b= 1- 1 2u u