08 一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■孙新晓 一元二次不等式的恒成立及综合应用问 题,是高考中比较常见的热点题型之一。解 决这类问题,可以合理联系一元二次不等式、 一元二次方程和二次函数这三个“二次”问 题,实现三个“二次”问题之间的相互转化。 下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常 见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在 总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与 解题方法。 一、一元二次不等式在R上的恒成立问题 涉及一元二次不等式在R上的恒成立问 题,可将一元二次不等式问题转化为相应的 二次函数的图像问题,利用不等式与二次函 数图像的开口情况,并结合判别式的取值进 行转化求解。 例1 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x- 4<0对一切x∈R恒成立,则实数a 的取值 范围是( )。 A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2} C.{a|-2<a≤2} D.{a|a<-2} 分析:在解决一元二次不等式在 R上恒 成立时,将一元二次不等式转化为相应的二 次函数的图像问题,通过二次函数图像的开 口情况与判别式的取值范围进行合理转化, 列出不等式来确定参数的取值范围。 解:当a-2=0,即a=2时,原不等式可 化为-4<0,显然对一切x∈R 恒成立;当 a≠2时,则 a-2<0, Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0, 整 理得 a-2<0, a2<4, 解得-2<a<2。 综上可得,实数a 的取值范围是{a|-2 <a≤2}。应选C。 在解决一元二次不等式 在R上恒成立问题时,往往涉 及以下 两 种 情 况:一 元 二 次 不 等 式 ax2+ bx+c>0(a≠0)对任意实数x∈R恒成立⇔ a>0, Δ<0; 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠ 0)对任意实数x∈R恒成立⇔ a<0, Δ<0。 需要特 别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分 类讨论二次项系数是否为零的情况。 二、一元二次不等式在给定自变量范围 上的恒成立问题 涉及一元二次不等式在给定自变量范围 上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定 自变量范围上的最值问题来处理。在实际解 题时,要注意自变量范围对二次函数图像的 影响,可结合分类讨论思想、数形结合思想进 行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的 综合运用。 例2 已知函数f(x)=mx2-mx-1, 若对于任意x∈{x|1≤x≤3},f(x)<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是 。 分析:利用所给不等式对应的二次函数, 结合二次函数在给定自变量范围上的图像与 性质的特征,确定相应参数的取值范围。 解:要使不等式f(x)<-m+5对任意 x∈{x|1≤x≤3}恒 成 立,只 需 不 等 式 m x- 1 2 2 + 3 4m-6<0 对任意x∈{x|1≤ x≤3}恒成立。解决此题有下面两种方法。 (函数法)令函数g(x)=m x- 1 2 2 + 3 4m-6 ,x∈{x|1≤x≤3}。 当m=0时,显然-6<0恒成立; 当m>0时,函数g(x)在{x|1≤x≤3} 上是增函数,所以g(x)max=g(3),则g(3)= 41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQQAogAgABBAAQgCQQVQCEOQkAAACCoGRAAMoAAAQQFABCA=}#} 7m-6<0,解得m< 6 7 ,这时0<m< 6 7 ; 当m<0时,函数g(x)在{x|1≤x≤3} 上是减函数,所以g(x)max=g(1),则g(1)= m-6<0,解得m<6,这时m<0。 综上所述,所求实数 m 的取值范围是 m m< 6 7 。 (分离参数法)若使不等式 m(x2-x+ 1)-6<0对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立, 而x2-x+1= x- 1 2 2 + 3 4>0 ,则只需满 足m< 6 x2-x+1 ,x∈{x|1≤x≤3}。 因 为 函 数 y = 6 x2-x+1 = 6 x- 1 2 2 + 3 4 在x∈{x|1≤x≤3}上的最小 值为 6 7 ,所以只需满足m< 6 7 ,即所求实数m 的取值范围是 m m< 6 7 。 解决一元二次不等式在 给定自变量范围上的恒成立 问题,有两 种 常 见 的 求 解 方 法:函 数 法,若 f(x)>0在给定自变量范围上恒成立,可利 用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求 范围;分离参数法,即转化为函数值域问题, 已知函数f(x)的值域为{y|m≤y≤n},则 f(x)≥a恒成立,可得f(x)min≥a,即 m≥ a;f(x)≤a 恒成立,可得f(x)max≤a,即 n≤a。 三、一元二次不等式在给定参数范围上 的恒成立问题 涉及一元二次不等式在给定参数范围上 的恒成立问题,可通过变换自变量与参