07 含有量词命题的真假判断技巧-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■陈荣庆 含有量词命题(全称量词命题、存在量词 命题)的真假判断及其综合应用问题,是比较 常见的一种基本题型,也是高考的常考题型。 判断全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命 题,需要对集合 M 中的每一个元素x,证明 p(x)成立;判断存在量词命题“∃x∈M, p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一 个x=x0,使p(x0)成立即可。由此,产生一 些与之相关的命题真假的判断技巧与方法。 一、特值法判断真假 含有量词命题的真假判断中,有时可以 通过特殊值、特殊元素等进行合理验证,根据 特殊值代入原问题,即可判断命题的真假。 特值法经常用来判断存在量词命题是真命题 或用来判断全称量词命题为假命题。 例1 (多选题)下列命题中的假命题是 ( )。 A.∃x∈R,tanx=1 B.至少有一个实数x,使得x2≤0 C.∀x∈R,2x>x2 D.两个无理数的和必是无理数 分析:根据题设条件,A、B是存在量词命 题,C、D是全称量词命题。通过特殊值代入 对应的命题,分析与判断命题的真假。 解:A中,当x=45°时,tanx=1,所以此 命题为真命题。B中,当x=0时,x2=0≤0, 所以此命题为真命题。C中,当 x=2时, 2x=x2=4,不满足2x>x2,所以此命题为假 命题。D中,当两个无理数分别为 2,- 2 时,其和 2+(- 2)=0不是无理数,所以此 命题为假命题。应选CD。 在存在量词命题中,特殊 值代入使得结论成立时,则可 以判断该命题为真命题;在全称量词命题中, 特殊值代入使得结论不成立时,则可以判断 该命题为假命题。 二、反例法判断真假 含有量词命题的真假判断中,当直接判 断存在一定困难时,借助相应的反例来判断 更加有效。反例法常用来判断全称量词命题 的真假。 例2 (多选题)现有下列命题,其中真 命题是( )。 A.∀x∈R,-x2<0 B.所有素数都是奇数 C.∃x∈R,x2-x-1=0 D.若p:∀x∈N,x2≥1,则􀱑p:∃x∈ N,x2<1 分析:根据题设条件,A、B中通过举反 例,利用特殊值的选取来判断命题的真假。C 中,利用方程的解进行判断。D中,全称量词 命题的否定是存在量词命题。 解:A中,当x=0时,-x2=0,所以此 命题为假命题。B中,因为2是素数,但其不 是奇数,所以此命题为假命题。C中,由方程 x2-x-1=0,解得x= 1± 5 2 ,所以此命题 为真命题。D中,因为全称量词命题的否定 是存在量词命题,所以此命题为真命题。应 选CD。 在全称量词命题中,特殊 值代入使得结论不成立时,则 可以判断该命题为假命题。 三、综合法判断真假 含有量词命题的真假判断中,借助相关 知识间的综合、条件间的关联等进行必要的 逻辑推理,利用综合法,通过推理分析来判断 命题的真假。 例3 (多选题)下列命题中的真命题是 ( )。 A.∀x∈Z,x2 的个位数字不等于3 B.设非空集合 P,Q 满足P∩Q=P, ∀x∉Q,都有x∉P C.存在钝角三角形的内角不是锐角或钝 角 D.∃x∈(0,1),x2= 1 x 21 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQQEgggAAAAAAAhCQQEgCEOQkACAAKoGBBAAsAAAgQFABCA=}#} 分析:通过对命题进行合理的推理与分 析,将数的运算、集合的运算、三角形的性质、 函数的图像与性质等知识加以交汇与融合, 进行综合推理与分析。 解:A中,∀x∈Z,其个位数字是0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9,则x2 的个位数字是0,1,4, 5,6,9,不可能等于3,符合题意,所以此命题 为真命题。B中,由P∩Q=P,可知P⊆Q, 则∀x∈P,都有x∈Q,此时该命题为真命 题,则其逆否命题为:∀x∉Q,都有x∉P,根 据原命题与逆否命题的关系知其也是真命 题。C中,因为任意的钝角三角形,其内角和 是180°,所以对应的内角是两个锐角和一个 钝角,所以此命题为假命题。D中,作出函数 y=x2 与y= 1 x 的图像(图略),结合图像可 知交点坐标为(1,1),故不符合题意,此命题 为假命题。应选AB。 结合各命题中相关知识 加以展 开 与 综 合,或 逻 辑 推 理,或数学运算,然后直接分析与判断相关命 题的真假,这是判断此类命题的真假时比较 常用的技巧与方法。 四、否定法判断真假 全称量词命题或存在量词命题的真假判 断,可以转化为原命题的否定的真假判断。 原命题是真命题(或假命题),其对应的否定 就是假命题(或真命题)。 例4 判断下列命题的真假。 (1)∃x∈R,使得-x2-1≥0。 (2)存在一个负数x,使得 1 x>2 。 分析:判断命题的真假需要进行必要的 逻辑推理