05 集合与常用逻辑用语典型题型解析&06 充分条件，必要条件、充要条件题型解析-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

集合与常用逻辑用语典型题型解析 ■孙艳秋 集合与常用逻辑用语是高中数学课程的 预备知识,它是后续学习数学表达和交流的 重要工具,所以要打好基础,在理解有关概念 和性质的基础上,掌握集合与常用逻辑用语 的典型题型。 一、含参数的集合运算问题 例1 已知集合A={x|x<a},B={x| x2-3x+2<0},且A∪(∁RB)=R,则实数 a的取值范围是( )。 A.a a≤1 B.a a<1 C.a a≥2 D.a a>2 解:因为B={x|x2-3x+2<0}={x| 1<x<2},所以∁RB=(-∞,1]∪[2,+∞)。 又A={x|x<a},且A∪ ∁RB =R,所以实 数a的取值范围是{a|a≥2}。应选C。 提炼:与不等式有关的集合问题,一般利 用数轴可以帮助解决,但要注意端点值能否 取到。 二、以集合为背景,设置新定义 例2 若一个n 位正整数的所有数位上 数字的n 次方和等于这个数本身,则称这个 数是自恋数,已知所有1位正整数的自恋数 组成集合A,集合B= x∈Z -3<x<4 , 则A∩B 真子集的个数为( )。 A.3 B.4 C.7 D.8 解:结合新定义可知,集合A={1,2,3, 4,5,6,7,8,9}。因为B={x∈Z|-3<x< 4},所以A∩B={1,2,3},所以A∩B 真子 集的个数为23-1=7。应选C。 提炼:解决集合新定义问题的两个切入 点:分析新定义的特点,弄清新定义的性质, 按新定义的要求“照章办事”;合理利用集合 的性质。 三、充分条件与必要条件 例3 (1)已知命题 p:一元二次方程 x2+bx+c=0有一正根和一负根,q:c<0, 则p 是q的( )。 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知命题 p:关于 x 的方程x2- 4x+a=0无实根,若p 为真命题的充分不必 要条件为a>3m+1,则实数 m 的取值范围 是( )。 A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 解:(1)因为方程x2+bx+c=0有一正 根和一负根,所以 Δ=b2-4c>0, c<0 ⇔c<0。 所以p⇒q,q⇒p,即p 是q 的充要条 件。应选C。 (2)因为p 为真命题,所以Δ=(-4)2- 4a<0,解得a>4。若p 为真命题的充分不 必要条件为a>3m+1,则等价于(3m+1, +∞)⫋(4,+∞),所以3m+1>4,解得m> 1。应选B。 提炼:在A 是B 的 条件中,A 是条 件,B 是结论,在A 的 条件是B 中,B 是 条件,A 是结论。A⇒B 与􀱑B⇒􀱑A,A⇔B 与B⇔A 是等价关系。若A⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B, 则A,B 互为充要条件。 四、全称量词与存在量词 例4 已知命题p:∀x∈R,x2+2x+ 1>0。写出命题p 的否定;判断命题p 的真 假,并说明理由。 解:由命题p:∀x∈R,x2+2x+1>0, 可得命题p 的否定为∃x0∈R,x20+2x0+ 1≤0。因为y=x2+2x+1=(x+1)2≥0(当 且仅当x=-1时取等号),所以命题p 为假 命题。 提炼:判断全称量词命题是真命题,需证 明都成立;判断存在量词命题是真命题,只要 找到一个成立即可,当一个命题的真假不易 判断时,可以先判断其否定的真假。 作者单位:江苏省无锡市第六高级中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABbQSAogCgAgBAAQgCQQVgCkOQkBGACAoGgBAEsAAAQAFABCA=}#} ■朱 珠 充分条件与必要条件是高中数学的重要 概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的 内容。下面就这方面的题型进行举例分析。 一、充分条件、必要条件、充要条件的判断 充分条件与必要条件:若p⇒q,则p 是 q的充分条件,q 是p 的必要条件;若p⇒/q, 则p 不是q的充分条件,q 不是p 的必要条 件。一般地,如果 p⇒q,且q⇒p,就记作 p⇔q,则p 是q 的充分必要条件,简称充要 条件。概括地说,如果p⇔q,那么p 与q 互 为充要条件。判断p 是q 的什么条件,主要 判断p⇒q,及q⇒p 这两个命题的正确性,若 p⇒q真,则p 是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p 是q成立的必要条件。要否定p 与 q不能相互推出时,举出一个反例即可。 例1 (1)已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),则下列结论正确的 是( )。 ①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的 充要条件;②Δ=b2-4ac=0是这个方程有 实根的充分条