03 空集，一个不容忽视的集合&04 思想方法引领，解题技巧应用-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■王佩其 空集,是集合家族中一个最不起眼的成 员,常常被人忽视。但你一旦把它忽视,你就 会被它“耍了”。因此,在学习集合时,同学们 一定要重视空集。 一、空集⌀虽然不含任何元素,但它是客 观存在的 例1 给出下列关系式:①若 A=⌀, B=⌀,则A=B;②⌀={⌀};③⌀={0}; ④ x 1 x=0 =⌀;⑤设全集U=R,则∁UR =⌀。其中正确关系式的序号是 。 解:空集是不含任何元素的集合,所有的 空集都是相等的,①正确。⌀和{⌀}都是集 合,其中⌀不含任何元素,而{⌀}是含有一个 元素⌀的集合,故⌀≠{⌀},②错误。同理③ 错误。显然方程1 x=0 无解,即 x 1 x=0 = ⌀,④正确。全集U=R,∁UR是一个不含任 何元素的集合,即∁UR=⌀,⑤正确。正确关 系式的序号是①④⑤。 空集是不含任何元素的 集合,故不能用列举法或描述 法把它表示出来,只能用一个专用符号⌀来 表示空集。 二、空集是任何集合的子集 例2 设全集U=R,M={x|3a<x< 2a+5},P={x|-2≤x≤1}。若 M⊆∁UP, 求实数a的取值范围。 解:因为全集U=R,P={x|-2≤x≤ 1},所以∁UP={x|x<-2或x>1}。 因为 M⊆∁UP,所以分 M=⌀,M ≠⌀ 这两种情况讨论。由题意画出数轴,如图1 所示。 图1 当 M=⌀时,可得3a≥2a+5,解得a≥ 5;当 M ≠⌀时,由图1可得 3a<2a+5, 2a+5≤-2 或 3a<2a+5, 3a≥1, 解得a≤-72或13≤a<5。 综上可知,a≤- 7 2 或a≥ 1 3 ,即所求实 数a∈ aa≤- 7 2 或a≥ 1 3 。 对于此类问题,忽视空集 是一种常见错误,请同学们切 记。在研究集合之间的关系时,Venn图和数 轴是两个常用的工具,用它们反映集合之间 的关系直观、形象,便于发现和研究问题。 三、空集是任何非空集合的真子集 例3 设集合A= x∈Z 6 2+x∈N ,则 集合A 的真子集的个数为 。 解:要使 6 2+x∈N ,且x∈Z,需满足2+ x=1,2+x=2,2+x=3或2+x=6,所以 x=-1,x=0,x=1或x=4。所以集合A= {-1,0,1,4}。 集合 A={-1,0,1,4}的子集为⌀, {-1},{0},{1},{4},{-1,0},{-1,1}, {-1,4},{0,1},{0,4},{1,4},{-1,0,1}, {-1,0,4},{-1,1,4},{0,1,4},{-1,0,1, 4},共16个子集。 去掉集合{-1,0,1,4},则集合 A 的真 子集的个数为16-1=15。 一个共有n 个元素的集 合A 的子集个数为2n;去掉 其本身,即得集合A 的真子集的个数为2n- 1;去掉空集,即得集合A 的非空子集的个数 为2n-1;两个都去掉,即得集合A 的非空真 子集的个数为2n-2。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQSEggiAAhAAAAhCQQEQCkOQkBEAAIoGwAAIoAAAgAFABCA=}#} ■崔云峰 在解数学问题中,巧妙渗透数学思想方 法,借助数学思想方法的引领,不仅能培养解 题能力,而且能优化认知结构,提高同学们的 数学核心素养。在高一的初始阶段,通过集 合知识的学习,合理借助数学思想方法,在有 效提升解题技巧的同时,可以大大优化同学 们的思想认知结构。 一、函数与方程思想 例1 已 知 集 合 M = x x=m+ 1 6 , m∈Z ,N = x x= n 2- 1 3 ,n∈Z ,P = x x=p2+ 1 6 ,p∈Z ,请判断集合 M、N、P 之间的关系。 分析:根据集合的元素特征,借助函数与 方程思想的应用,利用三个集合间参数的关 系加以分析与讨论,即可判断对应集合的基 本关系。 解:集合 M = x x=m+ 1 6 ,m∈Z = x x= 6m+1 6 ,m∈Z ,N= x x=n2-13, n∈Z = x x=3n-26 ,n∈Z ,P= x x= p 2+ 1 6 ,p∈Z = x x=3p+16 ,p∈Z 。因 为3n-2=3(n-1)+1,n∈Z,所以3n-2, 3p+1都是3的整数倍加1,所以N=P。而 6m+1=3×2m+1是3的偶数倍加1,所以 M⫋N,M⫋P。故 M⫋N=P。 判断集合间关系的常用 方法有观察法、集合元素特征 法、数形结合法等。这里借助函数与方程思 想加以分析,再结合集合的基本性质,使得问 题圆满获解。 二、分类讨论思想 例2 已知集合 A={12,a2+4