01 聚焦集合的概念，关系与运算问题&02 几组“形似质异”问题的辨析-《中学生数理化》高一数学2023年9月刊

■高 洁 集合是高中数学的重要内容,也是每年高 考的必考内容,高考的考查形式主要以选择题 为主,高考对集合的考查题型有集合的概念, 集合间的基本关系与集合的基本运算等。 题型1:集合的概念 例1 (1)已知集合 A={1,2,3},B= {(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈A},则B 中 所含元素的个数为( )。 A.2 B.4 C.6 D.8 (2)已知集合 A={(x,y)|x,y∈N*, y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B 中 元素的个数为( )。 A.2 B.3 C.4 D.6 解:(1)通过x 的取值,确定y 的取值, 即可得到B 中所含元素的个数。由A={1, 2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈ A},可得当x=3时,y=1,2,满足集合B;当 x=2时,y=1,3,满足集合B;当x=1时, y=2,3,满足集合B。故集合B 共有6个元 素。应选C。 (2)由题意可得,A∩B 中的元素满足 y≥x, x+y=8, 且x,y∈N*。由x+x≤8,可得 x≤4,所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6), (3,5),(4,4)。故A∩B 中元素的个数为4。 应选C。 总结与反思:解决集合问题的关键有三 点:一是确定构成集合的元素是什么,二是看 这些元素的限制条件是什么,三是根据元素 的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问 题。特别提醒:含字母的集合问题,在求出字 母的值后,需要验证集合的元素是否满足互 异性。 题型2:集合间的基本关系 例2 集合 M={x|x=5k-2,k∈Z}, P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x= 10m+3,m∈Z}之间的关系是( )。 A.S⫋P⫋M B.S=P⫋M C.S⫋P=M D.P=M⫋S 解:因为集合 M={x|x=5k-2,k∈Z} ={x|x=5(k-1)+3,k∈Z},P={x|x= 5n+3,n∈Z},所以 M=P。因为S={x| x=10m+3,m∈Z}={x|x=5×2m+3, m∈Z}⫋P={x|x=5n+3,n∈Z},所以 S⫋P=M。应选C。 总结与反思:解决集合间的基本关系的 常用方法有数轴法,Venn图法和结构法,若 集合中含有参数,需要对集合中的等式或不 等式进行等价转化,必要时需对参数进行分 类讨论。 题型3:集合的基本运算 例3 (1)已知集合 P={(x,y)|y= 2x},Q={(x,y)|x2+(y-1)2=0},则P∪ Q=( )。 A.0,1 B.(0,1) C.P D.Q (2)设全集U={x|x≥0},集合M={x| x2-x<0},N={x|x≥1},则 M∪(∁UN) =( )。 A.(0,1) B.[0,1) C.(1,+∞) D.[0,+∞) 解:(1)由集合 Q={(x,y)|x2+(y- 1)2=0}={(0,1)},可得(0,1)∈P,即Q⊆ P,所以P∪Q=P。应选C。 (2)由x2-x<0,可得x(x-1)<0,解 得0<x<1,所以 M={x|x2-x<0}={x| 0<x<1}。因为 N={x|x≥1},U={x| x≥0},所以∁UN={x|0≤x<1},所以 M∪ (∁UN)={x|0≤x<1}。应选B。 总结与反思:解决集合的基本运算问题, 可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求 解,必要时可结合数轴或Venn图帮助求解。 作者单位:安徽省太和第一中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月 {#{QQABZQSAogAoABJAAQhCQQUwCkOQkBAACIoGRAAMoAAAgQFABCA=}#} ■宗文惠 下面通过几组“形似质异”问题的辨析, 旨在帮助同学们进一步加深对有关概念的内 涵与外延的理解、认识,强化审题能力,力求 做到准确、到位。 第一组:集合的求交集问题 一般地,遇到集合求交集,首先要分清类 型,是“点集”求交集,还是“数集”求交集,其 次要注意方法,点集求交集,通过解方程组实 现,而数集求交集,通过求函数的值域实现。 例1 集合A={y|y=x2+1,x∈R}, B={y|y=5-x2,x∈R},则A∩B= 。 辨析:集合A、B 都是数集,求A∩B 的 关键就是求对应函数y=x2+1(x∈R)与 y=5-x2(x∈R)的值域。 解:因为函数y=x2+1(x∈R)的值域 是[1,+∞),函数y=5-x2(x∈R)的值域 是(-∞,5],所以A=[1,+∞),B=(-∞, 5],所以A∩B=[1,5]。 第二组:二次函数的单调性问题 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 并定义左区间为(-∞