2024届高考数学专题导数的综合运用：利用函数放缩证明不等式、数列

2024届高考数学专题导数的综合运用： 利用函数放缩证明不等式、数列 一、解答题 1．已知函数，其中． (1)讨论函数零点个数； (2)求证：． 2．已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 3．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 4．已知函数 (1)若单调递增，求a的值； (2)判断（且）与的大小，并说明理由. 5．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）当时，证明：. 6．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 7．已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 8．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)用表示出，； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 9．已知函数,为自然对数的底数）． (1)若对任意的恒成立，写出实数的值，然后再证明； (2)证明：（其中 ）． 10．已知函数. (1)当对，求函数的最小值； (2)若对恒成立，求实数取值集合； (3)求证：对，都有 11．已知函数. (1)求的单调区间； (2)①若，求实数的值； ②设，求证：. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，，求a的取值范围； (3)证明：． 13．已知函数． (1)若函数在定义域内是单调增函数，求实数的取值范围； (2)求证：，． 14．已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：当且时，． 15．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求证：． 16．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 17．已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围； (2)设，证明：． 18．已知函数． (1)若恒成立，求实数的最大值； (2)设，，求证：． 19．已知函数. (1)求的极值； (2)对任意的，求证：. 20．已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高考数学专题导数的综合运用： 利用函数放缩证明不等式、数列 一、解答题 1．已知函数，其中． (1)讨论函数零点个数； (2)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解， （2）根据，取，利用累加法，结合指对互化即可求解. 【详解】（1） ①当时，即在单调递减， 又，只有一个零点. ②当时，令则， 当时，当时， 故在单调递增，在单调递减， ， 令，则， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故， 又，， 故当时，只有一个零点， 当且时，有两个零点， 综上可知：故当或时，只有一个零点， 当且时，有两个零点， （2）由（1）可知，当时，在单调递减， 故当时，，故， 取，则，即， 相加可得， ， ， 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件可得恒成立，再利用导数分类讨论求解作答. （2）利用（1）的结论得当时，，取，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答. 【详解】（1）函数，求导得， 由于函数在R上单调递增，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，，不满足条件； 当时，，在R上单调递增， 又，即，不满足条件； 当时，令，得， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 于是当时，取得最小值， 于是，即， 令，则， 当时，，单调递增；时，，单调递减， 则，由于恒成立，因此，则有， 所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时， ， 而当时，， 所以， 则，所以，. 【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解. 3．已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意分析得到是函数的极小值点，则解得再代入验证符合题意； （2）由（1）可得，.令得到.令，利用导数证明出，得到，累加即可证明. 【详解】（1）由，