2024届高考数学专题导数的综合运用：参变分离的运用

2024届高考数学专题导数的综合运用：参变分离的运用 一、解答题 1．已知函数 (1)若其图象在点处的切线方程为，求，的值； (2)若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围. 2．已知函数． (1)若在处取得极大值27，求函数的极小值； (2)若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围． 3．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围. 4．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数有一个零点，求的取值范围． 5．已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程； (2)若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围. 6．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，函数在上恒成立，求整数a的最大值. 7．已知函数． (1)讨论的单调性; (2)设函数，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若且恒成立，求a的取值范围. 9．已知函数. (1)若,求的单调区间; (2)若对,恒成立,求a的取值范围． 10．已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值． 11．已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围． 13．已知函数．（参考数据：） (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 14．已知，R． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值． 15．已知函数的极小值点为． (1)求函数在处的切线方程； (2)设，，恒成立，求实数m的取值范围． 16．已知函数. (1)若函数有一个零点，求k的取值范围； (2)已知函数，若恒成立，求的取值范围. 17．（1）求证：曲线与曲线有且只有一个公共点，且这个公共点的横坐标在区间内； （2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 18．已知函数，，． （1）求的极值； （2）若对任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值； 19．已知函数（），. （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求的取值范围. 20．已知，且，函数. （1）求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高考数学专题导数的综合运用：参变分离的运用 一、解答题 1．已知函数 (1)若其图象在点处的切线方程为，求，的值； (2)若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，且，由此即可得解. （2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解. 【详解】（1）点在切线上， ，① ，，② 联立①②解得，. （2）依题意有，，， 且，； 又，， 则时，，即， 令，，求导得，所以单调递增， ； 又，所以的取值范围为. 2．已知函数． (1)若在处取得极大值27，求函数的极小值； (2)若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据的极大值，列出方程组求出，再求极小值； （2）将问题转化为恒成立，只需求的最大值即可. 【详解】（1）， 依题有，即， 解得，所以， ， 由，有或，列表如下： 27 由上表知当时取得大值27，故满足条件. 所以函数的极小值为. （2）， 所以不等式可化为，即， 令，则， 则， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递增，在递减， 故当时，取得最大值，所以. 3．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，令以及，解不等式即可求得答案； （2）根据不等式恒成立，参变分离可得，由此构造函数，利用导数求其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）由，定义域为， 可得， 令，该函数在上单调递增， 令，则， 令，即，则； 令，即，得； 故的单调减区间为，增区间为； （2）因为恒成立，所以，， 即恒成立， 令，，则， 令，则， 当时，；当时，， 故即在上单调递减，在上单调递增， 而，且当，无限趋近于0时，， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查导数知识的应用，涉及到函数的单调性以及利用不等式恒成立求参数范围，解答的难点在于不等式恒成立问题，解答时要将不