湖南省邵东市第三中学2024届高三上学期第二次月考数学试题（实验班）

邵东三中2023年下学期高三第二次月考数学试卷 命题人: 总分:150分 时间:120分钟 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知,则( ) A. B. C.1 D. 3.已知为锐角,若,则的值为( ) A. B. C. D. 4.下列说法中正确的是( ) A.已知随机变量服从X服从二项分布B.则 B.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件 C.已知随机变量X的方差为D(X),则D(2X-3)=2D(X)-3 D.已知随机变量X服从正态分布且,则 5.在中,内角的对边分别为,且满足,若,则外接圆的半径长为( ) A. B.1 C. D. 6.教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定,刚下课时,空气中含有的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数 描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位:分钟)的最小整数值为( )(参考数据) A.5 B.7 C.9 D.10 7.已知,,,则( ) A. B. C. D. 8.如图,在中,点D在线段上,且,E是的中点,延长交于点H,点为直线上一动点(不含点A),且().若,且,则的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每个小题给出的选项中,有多个符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.下列命题中正确的是( ) A.命题“,”的否定为“,” B.已知,,且,则的最小值为 C.已知函数的定义域为,则函数的定义域为 D.幂函数在上为减函数,则的值为1 10.函数的图象关于直线对称,将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,则关于,下列说法正确的是( ) A.函数图象关于对称 B.函数图象关于对称 C.在单调递减 D.最小正周期为 11.在中,角,,的对边分别是,,,已知,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D.有最大值 12.已知函数,则( ) A.函数只有两个极值点 B.若关于的方程有且只有两个实根,则的取值范围为 C.方程共有4个实根 D.若关于的不等式恰有两个正整数解,则的取值范围为 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应 位置) 13.在二项式的展开式中,常数项是 . 14. 已知曲线与直线相切,则的最大值为 . 15.某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺设花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个角上铺设草坪,造价为每平方米80元. 设AD长为x米,总造价为S元,则当x为 时,总造价S最小为 元. 16.双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”轴截面是双曲线一部分,如图②,其方程为,为其左右焦点,若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后,满足 ,,则该双曲线的离心率为 . 四、解答题(本题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列的前n项和. (1)求; (2)令,若对于任意,数列的前n项和恒成立,求实数m的取值范围. 18.夏季来临,气温升高,是学生溺水事故的高发期.为有效预防学生溺水事件的发生,增强学生防溺水的安全防范意识,提高学生的自护自救能力,减少安全事故的发生,切实保护学生的生命安全,学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会.某地一河流的岸边观测站位于点处(离地面高度忽略不计),观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友,正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子,突然小孩不慎落水.已知的距离为,假设三点在同一水平面上. (1)求此时钓友与小孩之间的距离. (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近,且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援,与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动,由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制,最多能持续游,试问钓友这次救援是否有成功的可能?若有可能,求钓友救援成功的最短时间;若不能,请说明原因. 19.已知抛物线的准线方程是. (1)求抛物线的方程; (