专题13 两条直线的位置关系6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题13 两条直线的位置关系6种常见考法归类 1．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交⇔k1≠k2； ②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1． ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得 注：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2． 2．两条直线垂直 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 3.两条直线相交、平行、重合的判定 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行. 4.判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： （1）斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 （2）斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. （3）斜率不相等时，两条直线不平行. 注：若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件l1⊥l2A1A2+B1B2=0判断. （2） 若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件l1⊥l2k1k2=-1判断. （3） 若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. 5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 6.由平行关系求直线方程 当所求直线与已知直线A＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为(为参数，且≠C)，再结合其他条件求出，即得所求直线方程．　 7.由垂直关系求直线方程 当所求直线与已知直线A＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为(λ为参数)，再结合其他条件求出，即得所求直线方程．　 8．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 9．判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标． (2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况． (3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 两条直线相平行的判定 考点二 已知两条直线平行求参数 考点三 两条直线垂直的判定 考点四 已知两条直线垂直求参数 考点五 已知两条直线的平行或垂直求直线方程 考点六 直线平行与垂直的综合应用 考点一 两条直线平行的判定 1．（2023秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解. 【详解】由点，，可求得直线的斜率， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 则有，则直线与直线平行或重合. 故选： D. 2．（2023·全国·高二专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【分析】根据直线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平