三角函数和角，差角和二倍角公式及运用——高一上学期必修第一册同步讲义

三角函数和角，差角和二倍角公式及运用 【考纲解读】 1、 理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式，能够运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明； 2、 理解并掌握三角函数的辅助角公式，能够运用三角函数的辅助角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明。 【知识精讲】 一、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式： 1、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角公式： （1）sin(+)=sincos+cossin； （2）cos(+)=coscos-sinsin； (3) tan(+)=。 2、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的差角公式： （1）sin(-)=sincos-cossin； （2）cos(-)=coscos+sinsin； (3) tan(-)=。 3、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的二倍角公式： （1）sin2=2sincos； （2）cos2=-=2-1=1-2； ①=；②=； （3）tan2= 。 4、三角函数的辅助角公式： asinxbcosx=sin(x) (其中由tan=来确定)。 二、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式的运用： 1、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式求三角函数式的值： （1）已知角，求三角函数式的值（简称为知角求值）； （2）已知某一三角函数的值，求给定三角函数式的值（简称为知值求值）； （3）已知三角函数式的值，求角（简称为知值求角）。 2、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式化简三角函数式： （1）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征； （2）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式的项数最少；②三角函数的次数最低；③角与三角函数名称的种类最少； （3）三角函数化简的常用方法有：①异角化同角；② 三角函数的高次化低次；③复杂角化简单角；④切化弦。 3、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式证明简单的三角函数恒等式： （1）三角函数恒等式证明的基本方法是：①从三角函数恒等式的一边（较繁杂的一边）入手，运用三角函数和角，差角和二倍角公式通过变换使其等于另一边；②两边（两边都比较繁杂）同时变换，使其等于同一个简单的三角函数式； （2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式进行变换时应该注意的问题：①注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（既可以从公式的左边到右边运用，也可以从公式的右边到左边运用）；②注意数学拼凑法在三角函数恒等式证明中运用。 【探导考点】 考点1求三角函数式的值：热点①已知角，求三角函数式的值；热点②已知某一三角函数式的值，求给定三角函数式的值；热点③ 已知三角函数式的值，求角的值； 考点2三角函数式化简：热点①运用三角函数和角（或差角）化简三角函数式；热点②运用三角函数二倍角公式化简三角函数式；热点③ 综合运用三角函数公式化简三角函数式； 考点3三角函数恒等式证明：热点①变换三角函数式一边，使其等于另一边；热点②已知两边同时变换，使其等于同一三角函数式。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、=（ ） A B C 2 D 2、4cos-tan=（ ） A B C D 2-1 3、求角，的正弦、余弦、正切值； 4、计算coscos+sincos的值； 5、求的值； 6、计算的值； 7、已知+=，求（1+tan）(1+tan)的值； 8、计算Coscoscoscos的值； 9、计算cos-cos的值； 10、计算++sincos的值； 『思考问题1』 （1）【典例1】是已知角，运用三角函数和角，差角和二倍角公式求三角函数式值的问题，解答这类问题的基本思路是把任意角转化为特殊角，从而运用特殊角的三角函数值求出三角函数式的值； （2）解答该类问题应该注意三角函数知识的综合运用，同时还要注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（即可以从公式的左边到右边，也可以从公式的右边到左边）。 〔练习1〕解答下列问题： 1、 求- sin（- ）的值； 2、 计算sincos -cos sin 的值； 3、计算的值； 4、计算的值； 5、计算tan+tan+tantan的值； 6、计算Coscoscoscos的值。 【典例2】解答下列问题： 1、若角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在