第3章 阶段综合提升 第4课 三角恒等变换-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

第四课　三角恒等变换 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 三角函数式求值 【例1】　(1)已知sin＝－，则cos＝(　　) A．－　　　　　 B．－ C. D. (2)4cos 50°－tan 40°等于(　　) A. B. C. D．2－1 (3)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． (1)C　(2)C　　[(1)cos＝cos ＝1－2sin2 ＝1－2×2 ＝. (2)4cos 50°－tan 40° ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝.] (3)[解]　tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＞0. 而α∈(0，π)，故α∈. ∵tan β＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π， ∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0， ∴－π＜α－β＜－， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝1， ∴2α－β＝－. 三角函数的求值有三种类型： 1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题. 2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝α＋β－β，2α＝α＋β＋α－β等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论 3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是0，π，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，选择求所求角的正弦值. 1．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝. (1)求sin 2x和cos x－sin x的值； (2)求的值． [解]　(1)由sin x＋cos x＝，平方得1＋sin 2x＝，所以sin 2x＝－，因为－＜x＜0，所以cos x＞sin x， 所以cos x－sin x＝＝. (2)＝ ＝＝sin 2x· ＝－×＝－. 三角函数式化简 【例2】　化简：(1)(0＜θ＜π)； (2)·. 思路点拨：(1)使用倍角公式化简． (2)切化弦． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝. 因为0＜θ＜π，所以0＜＜， 所以cos ＞0，所以原式＝－cos θ. (2)原式＝· ＝· ＝·＝. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； 2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”. 3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等. 2．化简：. [解]　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 三角恒等式的证明 【例3】　求证：tan2x＋＝. [证明]　左边＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝右边． 原式得证． 三角恒等式的证明问题的类型及策略 1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡. 2条件恒等式的证明. 这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法. 3．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α. [证明]　由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]， 两边分别展开得 sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α， 整理得： 4sin(α＋β)cos α＝6cos(α＋β)sin α， 两边同除以2cos(α＋β)cos α得： 2tan(α＋β)＝3tan α. 三角恒等变换的综合应用 【例4】　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值； (2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值． [解]　(1)因为a∥b， 所以3sin x＝－cos x，若(cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0， 所以tan x＝－，因为x∈[0，π]， 所以x＝. (2)f(x)＝3cos x－sin x ＝－2sin. 因为x∈[0，π]，所以x－∈， 所以－≤sin