课时达标检测(10) 幂函数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

课时达标检测(十)　幂函数 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为 (　　) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 解析　因为f(x)=(a2-a-1)×为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-1。又a-2≠0,所以a=-1。故选C。 答案　C 2.下列函数中,既是偶函数,又是幂函数的是 (　　) A.y=x B.y= C.y= D.y=|x| 解析　对于A,函数是奇函数,不符合题意;对于B,函数是偶函数且是幂函数,符合题意;对于C,函数不是偶函数,不符合题意;对于D,函数不是幂函数,不符合题意。故选B。 答案　B 3.已知幂函数y=f(x)的图像经过点2,,则f(4)的值为 (　　) A.16 B.2 C. D. 解析　设f(x)=xa,则2a==,所以a=-,所以f(x)=,所以f(4)==。故选C。 答案　C 4.幂函数f(x)=的大致图像为 (　　) A　B　C　D 解析　由于f(0)=0,所以排除C,D选项。而f(-x)=(-x====f(x),且f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数,图像关于y轴对称。故选B。 答案　B 5.已知幂函数y=f(x)的图像过点,则log2f(2)的值为 (　　) A. B.- C.2 D.-2 解析　设幂函数为f(x)=xα,由题意得=⇒α=,所以log2f(2)=log2=。故选A。 答案　A 6.已知a=log20.3,b=log32,c=30.3,d=3.40.3,则a,b,c,d的大小关系为 (　　) A.d>c>b>a B.d>a>c>b C.b>d>c>a D.b>c>d>a 解析　因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,0<0.3<1,所以log20.3<0,即a<0;因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,1<2<3,所以0<log32<1,即0<b<1;因为y=x0.3在(0,+∞)上是增函数,1<3<3.4,所以3.40.3>30.3>1,即d>c>1。所以d>c>b>a。故选A。 答案　A 二、多项选择题 7.已知幂函数f(x)的图像经过点27,,则幂函数f(x)具有的性质是 (　　) A.在其定义域上为增函数 B.在(0,+∞)上为减函数 C.奇函数 D.定义域为R 答案　BC 8.函数y=ax与y=xa的图像如图所示,则实数a的值可能是 (　　) A.5 B.3 C. D. 解析　显然a>0。由y=ax>0知,①是函数y=ax的图像,②是函数y=xa的图像。由函数y=ax的图像可知,0<a<1,排除A,B。故选CD。 答案　CD 三、填空题 9.若y=a是幂函数,则该函数的值域是　　　　。  解析　由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞)。 答案　[0,+∞) 10.已知点,在幂函数y=f(x)的图像上,则f(x)的解析式是　　　　,f-=　　　　。  解析　设幂函数y=f(x)=xα,α为常数;把点的坐标,代入解析式中,得α=,解得α=3,所以幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3。f-=-3=-。 答案　f(x)=x3　- 11.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是　　　　。  解析　因为f(x)==(x>0),易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),所以解得所以3<a<5。 答案　(3,5) 四、解答题 12.比较下列各组数的大小。 (1)-和-; (2)(-2)-3和(-2.5)-3; (3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1; (4)(4.1,(3.8和(-1.9。 解　(1)-=-,函数y=在(0,+∞)上为增函数,又>,则>,从而-<-。 (2)因为幂函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,且-2>-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3。 (3)因为幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上为减函数,且1.1<1.2,所以(1.1)-0.1>(1.2)-0.1。 (4)因为(4.1>=1,0<(3.8<=1,<0,所以(-1.9<(3.8<(4.1。 13.已知幂函数y=f(x)的图像过点(4,m)和(2,8)。 (1)求m的值; (2)求函数g(x)=f(x)在区间[-1,2]上的值域。 解　(1)设幂函数y=f(x)=xα,α为常数, 其图像过点(4,m)和(2,8), 所以2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3, 所以m=f(4)=43=64,即m的值是64。 (2)由题意知,x∈[-1,2]时,f(x)=x3∈[-1,8], 所以g(x)=f(x)∈,2, 所以g(x)在[-1,2]上的值域是,2。 素养提升 14