课时达标检测(9) 指数函数与对数函数的关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

课时达标检测(九)　指数函数与对数函数的关系 基础达标 　 一、单项选择题 1.函数y=的反函数是 (　　) A.y=(x∈R且x≠-4) B.y=(x∈R且x≠3) C.y=x∈R且x≠ D.y=x∈R且x≠- 答案　B 2.函数f(x)=2x+1的反函数的图像大致是 (　　) A　　　　B C　　　　D 解析　由y=2x+1得x+1=log2y,x=log2y-1(y>0),即函数f(x)=2x+1的反函数是f-1(x)=log2x-1(x>0),注意到函数f-1(x)在(0,+∞)上是增函数,结合各选项知,选A。 答案　A 3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是 (　　) A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3 答案　D 4.设f(x)=的图像与g(x)的图像关于直线y=x对称,则g(x+2)等于 (　　) A.1+ B.1+ C.1- D.1- 解析　由已知得f(x)与g(x)互为反函数,f(x)=,g(x)=f-1(x)=,所以g(x+2)==1+。故选A。 答案　A 5.函数y=的图像与其反函数的图像都过点(1,2),则a-b等于 (　　) A.4 B.10 C.-10 D.-4 解析　已知点(1,2)在y=及其反函数的图像上,则有即解得所以a-b=-10。故选C。 答案　C 6.设a,b,c均为正数,且2a=loa,b=lob,c=log2c,则 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析　解法一:由函数y=2x,y=x,y=log2x,y=lox的图像(如图)知,0<a<b<1<c。故选A。 解法二:因为a>0,所以2a>1。所以loa>1。所以0<a<。又因为b>0,所以0<b<1。所以0<lob<1。所以<b<1。又因为c>0,所以0<c<1。所以0<log2c<1。所以1<c<2。所以0<a<<b<1<c。 答案　A 二、多项选择题 7.函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图像可能是 (　　) A　　　B C　　　D 解析　先画出y=1+ax的图像,由反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称可画出反函数的图像。故选AC。 答案　AC 8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是 (　　) A.[-1,1] B.(-∞,0) C.[-2,4] D.[2,4] 答案　AC 三、填空题 9.已知函数f(x)=的反函数f-1(x)的图像的对称中心是(-1,3),则实数a的值为　　　　。  解析　因为f-1(x)的图像的对称中心是(-1,3),所以f(x)的图像的对称中心为(3,-1)。又由f(x)==-1-,则f(x)的图像可由g(x)=-的图像中心(0,0)平移到(3,-1)得到,所以a+1=3,即a=2。 答案　2 10.设函数f(x)=e2(x-1),y=f-1(x)为y=f(x)的反函数,若函数g(x)=则g(g(-1))=　　　　。  解析　依题意得g(-1)=-1+2=1,g(g(-1))=g(1)=f-1(1)。设f-1(1)=t,则有f(t)=1,即e2(t-1)=1,t=1,所以g(g(-1))=1。 答案　1 11.若函数y=f(x)的反函数是y=-(-1≤x≤0),则原函数的定义域是　　　　,f(-1)=　　　　。  解析　因为原函数的定义域为反函数的值域,又-1≤x≤0,所以1≤2-x2≤2,即y∈[-,-1]。令-=-1,解得x=±1,因为原函数的定义域为[-,-1],所以x=-1,即f(-1)=-1。 答案　[-,-1]　-1 四、解答题 12.求下列函数的反函数。 (1)f(x)=; (2)f(x)=1-(-1≤x<0)。 解　(1)设y=f(x)=,则y≠0。 由y=,解得x=。 所以f-1(x)=(x≠0)。 (2)设y=f(x)=1-。 因为-1≤x<0,所以0<y≤1。 由y=1-, 解得x=-。 所以f-1(x)=-(0<x≤1)。 13.已知函数f(x)=3x,其反函数为y=m(x),且m(18)=a+2,函数g(x)=3ax-4x的定义域为[0,1]。 (1)求函数g(x)的解析式; (2)求函数g(x)的值域。 解　(1)因为f(x)=3x,所以f-1(x)=log3x,即m(x)=log3x,所以m(18)=log318=2+log32=a+2,所以a=log32。 因此g(x)=3ax-4x=-4x=2x-4x,即g(x)=-4x+2x,x∈[0,1]。 (2)令t=2x∈[1,2], 则g(x)=-t2+t=-+, 所以g(x)max=g(1)=0,g(x)min=g(2)=-2, 所以g(x)的值域为[-2,0]。 素养提升 14.某种录音机,原来每个售价为384